An advanced course of group theory for physicists. It is following to the basic course of mathematics for physicists.
Last update: T_KMA (15.05.2008)
Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky.
Probírají se pokročilé partie z teorie grup pro fyziky.
Aim of the course -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (25.01.2024)
Teach basics of the representation theory of Lie groups.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (14.02.2024)
Naučit základy Lieových grup a jejich reprezentací. Jako vedlejší produkt se studentům fyziky ukáže, jak matematičtí fyzici jejich pojmy "překládají" do matematiky a studenti matematiky mohou získat základní povědomí o metodách fyziky, které používají symetrie.
Course completion requirements -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (05.02.2024)
The examination is oral with a written preparation. In the case of a distance teaching, the exam is written.
Knowledge of definitions, theorems and proofs are tested which were taught during the course. Easy consequences of theorems and their application in specific cases
are tested as well but rather rarely.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (21.02.2024)
Zkouška je ústní s písemnou přípravou, nebo distanční. V distančním případě je zkouška písemná. Student pošle odpovědi zkoušejícímu.
Zkouší se porozumění probrané látce (definice, věty a důkazy) i schopnost aplikace vět ve specifických případech a výjimečně důkazy jednoduchých důsledků probíraných vět. Studentům fyziky je možné pomoci prostřednictvím fyzikální formulace, příkladu nebo analogie. Studentům matematiky, pokud si to nepřeje, fyzikální formulace
nejsou zkoušeny a vše se formuluje matematicky. (Př.: namísto uveďte klasifikaci částic ve spec. rel. kvant. mechanice, se jí/jeho ptáme na klasifikaci ireducibilních reprezentací Poincarého grupy.)
Literature -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (12.02.2023)
S. Sternberg, Group theory and Physics, CUP.
L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba, A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000.
M. Sepanski, Compact Lie Groups, Springer, 2007.
-------------------------------
R. Goodman, N., Wallach, Representations and Invariants of the Classical groups, Cambridge.
A. Deitmar, S. Echterhoff, Principles of Harmonic Analysis, Springer.
D. P. Želobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973.
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991.
V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004.
A. Klimyk, N. Vilenkin, Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991.
G. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space.
G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups, Vol. I., Springer.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (05.02.2024)
Základní: specifikované části ucelených kapitol, které jsou předmětem přednášky, v závorkách
M. Sepanski, Compact Lie Groups, Springer, 2007 (reprezentace komp. grup na Hilbertových prostorech)
S. Sternberg, Group theory and Physics, CUP (tzv. Wignerova klasifikace částic spec. rel. kvant. mechaniky neboli reprezentace Poincarého grupy)
L. Frappat, A. Sciarrino, P. Sorba, A dictionary of Lie algebras and superalgebras, Academic Press, 2000 (definice, zákl. příklady)
V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction, Courant Lecture Notes, AMS, Providence, 2004 (systematický/kategorální vhled do problematiky)
A. Klimyk, N. Vilenkin, Representations of Lie groups and speciál functions, Kluwer, Dordrecht, 1991 (Legendreovy nebo Besselovy fce 1. druhu)
G. Folland, Harmonic Analysis on Phase Space (důkaz Stonovy--Neumannovy věty)
G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups, Vol. I., Springer (reprezentace polopřímých součinů jednoduchých a abelovských lokálně kompaktních grup, kde s důkazy tzv. Mackeyho stroj/machine, Mackeyho věta o malé grupě)
Rozšiřující:
A. Deitmar, S. Echterhoff, Principles of Harmonic Analysis, Springer (jiný dk. Stone-Neumannovy věty)
D. P. Želobenko, Compact Lie groups and their representations, Translations of Mathematical Monographs, 40, AMS, Providence, 1973.
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, A first course, Springer, Heidelberg, 1991.
R. Goodman, N., Wallach, Representations and Invariants of the Classical groups, Cambridge.
Teaching methods -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Lectures and classes based on available literature.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Přednáška a cvičení na základě dostupné literatury.
Requirements to the exam -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Knowledge of taught definitions, theorems and their proofs, application of theorems, and proofs of easy consequences of assertions are tested
of those theorems that were presented in the lecture.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (01.06.2020)
Zkouší se definice, věty a jejich důkazy v rozsahu, jak byly prezentovány na přednášce, aplikace výše uvedeného ve specifických případech a důkazy důsledků probíraných vět.
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (25.01.2024)
0. Introduction/Recall: Representations as presentation of groups ('tablaeux') by symmetries of space and as 'manifestation of' of symmetries o space in Classical mechanics (Hamiltonian systems) and Quantum Mechanics.
1. Recall of smooth manifolds: definition and examples. Definition of Lie group. Implicit function theorem for manifolds and Lie groups (without proofs). Proofs of the basic examples, i.e., that R^n, S^1, GL(n, F), SL(n, F), O(n, F), SO(n, F), U(n), SU(n), T^n (tori), F = R, C, are Lie groups. Dimensions of these manifolds.
2. (Borel, Radon and) Haar measures: definitions and basic examples. Haar measure for the symmetry group of the affine line and GL(n,R).
Weil theorem on Haar measure (without proof, proof eventually for Lie groups). Modular factor.
3. a) Representations of Lie groups: (closed) invariant subspace, irreducibility, (complete) reducibility, Schur lemma, representation of commutative groups, associated representations: Hilbert sum, dual, tensor product representations on Hilbert spaces. Representations of S^1, Z, and R^n. A non-topological version of Pontrjagin (self-)duality: "dual of dual of S1 is S1" and "dual of dual of Z is Z". Connection of Fourier coefficients to the Fourier transform.
3. b) Representations of compact Lie group: unitarization, complete reducibility, finite dimension of irreducible representations (without proof) a Peter--Weyl theorem (without proof):
(Appendix: Overview of the algebraic theory of representations of Lie algebras - definition of Lie algebras, Cartan subalgebras, root, positive root, simple root, fundamental weight.
Cartan's theorem on the classification of irreducible representations of simple Lie algebras. Examples: sl(2,C) a sl(3,C).)
4. Examples of irreducible representations: Representations of SU(2), i.e., Spin(3) - double cover of SO(3), thus of the inner spin symmetries.
O(n) and harmonic polynomials, i.e., connected to orbital states in quantum mechanics.
(5. Special functions: Bessel and Legéndre functions. Special functions as matrix coefficients.)
6. Super-vector spaces, super-algebras, Lie super-algebras. Examples: Grassmann algebra, gl(m|n), sl(m|n), and eventually osp(m|n).
(Basic overview of Kac's classification of simple Lie super-algebras.)
7. Representations of the Heisenberg group: Stone--Neumann theorem, Schrödinger representation, and canonical commutation relations (CCR, canonical quantization) as
differentiation of the Schroedinger representation. (Segal--Shale--Weil representation.)
(8. Representations of semi-direct products, Mackey theorem about the "little group" without proof.
Applications to the representation of the affine line symmetries group and the Poincaré group - semidirect product of the indefinite orthogonal groop O(1,3) and the abelian translational R^4, Wigner-type classification of the irreducible representation of the Poincare group - thus a classification of particles according to special relativistic quantum mechanics.)
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (21.02.2024)
0. Úvod: Grupa a symetrie jako akce grupy; homomorfizmy a akce; regularni reprezentace - příklady z fyziky.
1. Základy hladkých variet: definice, příklady. Definice Lieovy grupy a příklady Lieových grup:
GL(n,F), SL(n,F), O(n,F), SO(n,F), U(n), SU(n), T^n (torus), R^n, F = R nebo C, - použití věty o implicitních funkcích (pro R^n, hladké variety a pro Lieovy grupy).
2. Borelovy a Haarovy míry: Definice a příklady. Grupa symetrií tzv. afinní přímky a její levá a pravá Haarova míra, GL(n,R) a její oboustranná Haarova míra. Weilova věta o Haarově míře (bez důkazu, event. důkaz pro Lieovy grupy). Haarova míra pro kompaktní grupu a abelovskou grupu je levá i pravá.
3. Reprezentace Lieových grup: podreprezentece, ireducibilita, unitarizovatelnost a uplná rozložitelnost pro reprezentace kompaktních grup na Hilbertových prostorech. Schurovo lemma o ekvivariantních zobrazeních a reprezentace komutativních grup - oboje na konečně rozměrných prostorech. Asociované reprezentace: restrikce reprezentace, (Hilbertův) součet a zúplněný tenzorový součin reprezentací.
4. a) Reprezentace S^1 (kružnice, pomoci Cauchyovy funkcionální rovnice f(x + y) = f(x) + f(y) na R), celých čisel Z a realných čísel R (popř. R^n). Důkaz netopologická verze Pontrjaginovy duality pro S^1, Z a R. Souvislost Fourierových koeficentů a Fourierovy transformace.
4. b) Reprezentace kompaktních Lieových grup: konečná rozměrnost ireducibilních reprezentací a Peterova--Weylova věta (bez dk) pro konečně rozměrné reprezentace.
(5. Dodatek: Přehled algebraické teorie teorie reprezentací - definice Lieovy algebry, Cartanova podalgebra, kořen, pozitivní koren, jednoduchý kořen, fundamentálni vaha. Věta Cartana o klasifikaci ireducibilních reprezentací Lieových algeber. Příklad: sl(2,C) a sl(3,C).)
6. Reprezentace SU(2), tj. Spin(3) - souvislé dvojité nakrytí SO(3), a grupy O(n). Harmonické polynomy.
(7. Speciální funkce: zejména Besselovy fce 1. druhu a Legendreovy funkce, systematické pojetí: speciální funkce jako tzv. maticové koeficienty reprezentací.)
10. Reprezentace polopřímých součinů abelovskych grup s grupami jednoduchými, Mackeyova věta o "malé grupě", bez důkazu. Aplikace této věty na reprezentace grupy symetrií afinní přímky a reprezentace Poincarého grupy, tj. polopřímého součinu "indefinitní ortogonální grupy" a translační R^4 (Wignerova klasifikace ireducibilních reprezentací Poincarého grupy, tj. speciálně retivistických symetrií prázdného prostoru, a tak i klasifikace částic v rámci speciálně relativistické kvantové mechaniky).
