Course of numerical methods with the emphasis on the implementation in Fortran. From numerical libraries through standard methods of algebra and analysis to solution of ordinary and partial differential equations. Less theory, more practice. Examples of geophysical applications.
Last update: HANYK/MFF.CUNI.CZ (12.04.2008)
Kurs numerických metod s důrazem na jejich implementaci ve Fortranu. Od knihoven programů přes klasické metody algebry a matematické analýzy k řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Méně teorie, více praxe. Příklady geofyzikálních aplikací.
Aim of the course -
Last update: HANYK/MFF.CUNI.CZ (12.04.2008)
Students ready for the world of numerical methods and computer implementations.
Last update: HANYK/MFF.CUNI.CZ (12.04.2008)
Student orientující se ve světě numerických metod a jejich počítačových implementací.
Course completion requirements - Czech
Last update: RNDr. Ladislav Hanyk, Ph.D. (10.10.2017)
Zápočet bude udělen po předložení vypracovaných domácích úkolů.
Literature -
Last update: RNDr. Ladislav Hanyk, Ph.D. (27.09.2011)
F.S. Acton, Numerical Methods That Work, Mathematical Association of America, 1990.
U.M. Ascher, L.R. Petzold, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998.
B. Fornberg, A Practical Guide to Pseudospectral Methods, Cambridge University Press, 1996.
M. Metcalf, J. Reid, M. Cohen, Modern Fortran Explained, Oxford Science, 2011.
S. Míka, Numerické metody algebry, SNTL, 1985.
W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing, Second Edition, Cambridge University Press, 1996. (http://www.nr.com)
W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 90: The Art of Parallel Scientific Computing, Cambridge University Press, 1996.
V. Pretlová, J. Zahradník, Numerické metody v geofyzice I., II. (skripta), SPN, 1978/1981.
P. Přikryl, Numerické metody matematické analýzy, SNTL, 1985.
K. Rektorys a spol., Přehled užité matematiky, Nakladatelství Prometheus, 1995.
K. Segeth, Numerický software I. (skripta), Nakladatelství Univerzity Karlovy, 1998.
J. Segethová, Základy numerické matematiky (skripta), Nakladatelství Univerzity Karlovy, 1998.
E. Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987.
WWW.
Last update: RNDr. Ladislav Hanyk, Ph.D. (27.09.2011)
F.S. Acton, Numerical Methods That Work, Mathematical Association of America, 1990.
U.M. Ascher, L.R. Petzold, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998.
B. Fornberg, A Practical Guide to Pseudospectral Methods, Cambridge University Press, 1996.
M. Metcalf, J. Reid, M. Cohen, Modern Fortran Explained, Oxford Science, 2011.
S. Míka, Numerické metody algebry, SNTL, 1985.
W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing, Second Edition, Cambridge University Press, 1996. (http://www.nr.com)
W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 90: The Art of Parallel Scientific Computing, Cambridge University Press, 1996.
V. Pretlová, J. Zahradník, Numerické metody v geofyzice I., II. (skripta), SPN, 1978/1981.
P. Přikryl, Numerické metody matematické analýzy, SNTL, 1985.
K. Rektorys a spol., Přehled užité matematiky, Nakladatelství Prometheus, 1995.
K. Segeth, Numerický software I. (skripta), Nakladatelství Univerzity Karlovy, 1998.
J. Segethová, Základy numerické matematiky (skripta), Nakladatelství Univerzity Karlovy, 1998.
E. Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987.
WWW.
Teaching methods -
Last update: HANYK/MFF.CUNI.CZ (12.04.2008)
Lecture + exercises
Last update: HANYK/MFF.CUNI.CZ (12.04.2008)
Přednáška + cvičení
Requirements to the exam - Czech
Last update: RNDr. Ladislav Hanyk, Ph.D. (30.04.2020)
Zkouška je ústní, může se uskutečnit distančním způsobem. Požadavky odpovídají sylabu v rozsahu prezentovaném na přednášce.
Syllabus -
Last update: RNDr. Ladislav Hanyk, Ph.D. (08.05.2013)
1. Real data in real computers: Storing integer and real numbers (format IEEE). Errors: classification, sources and spreading.
2. Introduction to Fortran 95: Syntactical elements, specification statements, commands and constructs. Arrays, array sections, array-valued functions. Program units and structuring source codes. Parallelization. Examples: tabulating Earth models.
4. Mini-algorithms: Horner scheme. Recurrence relations and their properties. Difference schemes. Numerical derivatives. FFT. Random numbers. Searching, sorting. What not to compute. Examples: Legendre polynomials and functions.
5. Systems of linear algebraic equations. Matrix conditionality. Direct methods - Gauss elimination and factorization methods (LU factorization). Methods for systems with tridiagonal, band diagonal matrices and special matrices. Iterative methods, conjugate gradient method. Overdetermined and underdetermined systems, singular value decomposition. Matrix eigenvalues and eigenvectors - real symmetric vs. nonsymmetric matrices.
6. Approximation, basic applications: Interpolation of functions and derivatives (polynomial and rational interpolation, splines). Method of least squares. Chebyshev approximation, economization. Solution of nonlinear equations (classic methods, Newton method, combined methods). Examples: Fornberg schemes.
8. Systems of nonlinear algebraic equations: Linearization (Newton method). Minimalization (simplex and Powell's method, conjugate gradient methods and variable metric methods).
9. Ordinary differential equations: Initial value problems: Properties of numerical solution (local and global accuracy, convergence, stability, stiff systems). Properties of explicit and implicit schemes (Euler scheme). Runge-Kutta methods (of 2nd and 4th order, variants with adaptive stepping and for stiff systems). Extrapolation methods. Multistep methods. Boundary value problems: reduction to initial value problems, shooting methods, finite difference method, variational methods. Systems of differential and algebraic equations. Examples: Adams-Williamson equation, free oscillations of the Earth.
Last update: RNDr. Ladislav Hanyk, Ph.D. (08.05.2013)
1. Reálná data v reálných počítačích: Kódování celých a reálných čísel (formát IEEE). Chyby, jejich klasifikace, zdroje a šíření.
2. Úvod k Fortranu 95: Syntaktické prvky, popisy, příkazy. Pole, sekce polí, standardní funkce pro práci s poli. Programové jednotky a členění zdrojového textu. Paralelizace. Příklad: tabelování modelů Země.
3. Knihovny numerických metod: Numerical Recipes, LAPACK, MKL, IMSL, NAG. Orientace v knihovnách, vřazování knihovních procedur do zdrojových textů programů. Příklady: sférické Besselovy funkce, algebraické operace s maticemi.
4. Mini-algoritmy: Hornerovo schéma. Rekurence a jejich vlastnosti. Diferenční schémata. Numerické derivování. FFT. Náhodná čísla. Prohledávání, třídění. Co nepočítat. Příklad: Legendrovy polynomy a funkce.
5. Soustavy lineárních algebraických rovnic: Podmíněnost matice. Přímé metody - Gaussova eliminace a faktorizační metody (LU rozklad). Metody pro soustavy s třídiagonální a pásovou maticí a s maticemi se speciální strukturou. Iterační metody, metoda sdružených gradientů. Přeurčené a podurčené úlohy, metoda singulárního rozkladu. Hledání vlastních čísel matic - reálné symetrické vs. ostatní matice.
6. Aproximace a její základní aplikace: Interpolace funkce a jejích derivací (polynomiální a racionální interpolace, spliny). Metoda nejmenších čtverců. Čebyševova aproximace, ekonomizace. Řešení nelineárních rovnic (klasické metody, Newtonova metoda, kombinované metody). Příklad: Fornbergovy vzorce.
8. Soustavy nelineárních algebraických rovnic: Linearizace (Newtonova metoda). Minimalizace (simplexová a Powellova metoda, metoda sdružených gradientů a proměnné metriky).
9. Obyčejné diferenciální rovnice: Úlohy s počátečními podmínkami: Vlastnosti numerického řešení (lokální a globální přesnost, konvergence, stabilita, tlumené systémy). Vlastnosti explicitních a implicitních schémat (Eulerovo schéma). Rungovy-Kuttovy metody (klasické 2. a 4. řádu, varianty s adaptivním krokem a pro úlohy s velkým tlumením). Extrapolační metody. Vícekrokové metody. Okrajové úlohy: převod na úlohy s počátečními podmínkami, metoda střelby, metoda sítí, variační metody. Systémy diferenciálních a algebraických rovnic. Příklady: Adamsova-Williamsova rovnice, vlastní kmity Země.
10. Parciální diferenciální rovnice: Diskretizace, diferenční schémata, vlastnosti, klasifikace užívaných metod. Metoda konečných diferencí (diferenční rovnice, přepis okrajových podmínek). Semidiskrétní metody (metoda přímek, Rotheova metoda). Příklady: Laplaceova rovnice, rovnice vedení tepla.
