Last update: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc. (02.05.2018)
Solutions of problems of classical variational calculus, Finding and Examination of Extreme of functionals.
Formulation of a variational problem and determination of their properties. Modern variational calculus. Application
of variational methods to the solution of boundary value problems. Applications in problems of mathematical
physics.
Last update: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc. (02.05.2018)
Řešení úloh klasického variačního počtu. Nalezení a vyšetření extrému funkcionálu. Formulace variační úlohy a
určení jejích vlastností. Moderní variační počet. Aplikace variačních metod na řešeni okrajových úloh. Aplikace v
problémech matematické fyziky.
Určeno studenty fyziky především pro 2. a 3. r. bakalářského studia i další zájemce z řad vyšších ročníků.
Aim of the course -
Last update: doc. Ing. Lucie Augustovičová, Ph.D. (02.05.2018)
The aim of this course is to deepen and broaden knowledge of variational methods with applications in physics.
Last update: doc. Ing. Lucie Augustovičová, Ph.D. (02.05.2018)
Prohloubit a rozšířit znalosti aplikací variačního počtu ve fyzice.
Course completion requirements -
Last update: doc. Ing. Lucie Augustovičová, Ph.D. (02.05.2018)
The course credit is awarded for participation and exercise activity. Lack of participation can not be compensated by other means.
Course credit is a condition of admission to the exam.
The exam is oral and the requirements correspond to the syllabus of the subject in the range that was presented at the lecture.
Last update: doc. Ing. Lucie Augustovičová, Ph.D. (28.04.2020)
Zápočet se uděluje za vypracování domácích úkolů.
Zápočet je podmínkou připuštění ke zkoušce.
Zkouška je ústní a požadavky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.
Literature -
Last update: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc. (02.05.2018)
K. Rektorys, Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
L. E. Elsgolc, Variační počet, SNTL, Praha 1965.
K. W. Cassel, Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
S. V. Fomin, R. A. Silverman, Calculus of variations, Courier Dover Publications, Dover 2000.
B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London 2004.
Last update: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc. (02.05.2018)
K. Rektorys, Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
L. E. Elsgolc, Variační počet, SNTL, Praha 1965.
K. W. Cassel, Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
S. V. Fomin, R. A. Silverman, Calculus of variations, Courier Dover Publications, Dover 2000.
B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London 2004.
Teaching methods -
Last update: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc. (02.05.2018)
lecture and excercise
Last update: RNDr. Vojtěch Kapsa, CSc. (02.05.2018)
přednáška a cvičení
Syllabus -
Last update: doc. Ing. Lucie Augustovičová, Ph.D. (02.05.2018)
1. Introduction and motivational examples
2. Fundamental lemma of variational calculus
3. Extreme of functional, Euler-Lagrange equations
4. Conditions for the existence of extreme of functional
5. Sturm-Liouville problem and quadratic functional
6. Sobolev spaces
7. Weak solution of boundary value problems for elliptic equations
8. Lax-Milgram theorem
9. Rayleigh-Ritz method
10. Hamilton's principle for discrete systems
11. Hamilton's principle for continuous systems
12. Stability of dynamical systems
The exercises include the solution of specific tasks of the variational calculus - e.g. the problem of the shortest line, the brachistochrone problem, the shape of a liquid drop, the soap film between two coaxial circular rings, the rod deflection, the static deflection of an elastic string, applications of Hamilton’s principle
Last update: doc. Ing. Lucie Augustovičová, Ph.D. (02.05.2018)
1. Úvod a motivační příklady
2. Základní lemma variačního počtu
3. Extrém funkcionálu, Eulerovy - Lagrangeovy rovnice
4. Podmínky existence extrému funkcionálu
5. Sturm-Liouvilleova úloha a kvadratický funkcionál
6. Sobolevovy prostory
7. Slabé řešení okrajovéh úlohy pro eliptickou parciální diferenciální rovnici
8. Laxova-Milgramova věta
9. Rayleigh-Ritzova metoda
10. Hamiltonův princip pro diskrétní systémy
11. Hamiltonův princip pro spojité systémy
12. Stabilita dynamických systémů
Cvičení obsahuje řešení konkrétních úloh variačního počtu - např. úlohy o nejkratší spojnici, o brachistochroně, o povrchu kapce kapaliny, o tvaru mýdlové bubliny mezi dvěma koaxiálními prstenci, o průhybu tyče, statické napínání struny, aplikace Hamiltonova principu apod.
