Last update: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Mandatory course for master study programmes Mathematical
analysis and Mathematical modelling in physics and technics. Recommended
for the first year of master studies. The course is devoted to advanced
topics in functional analysis - locally convex spaces and weak topologies,
theory of distributions, vector integration, compact convex sets.
Last update: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Povinný předmět magisterských programů Matematická analýza a
Matematické modelování ve fyzice a technice. Doporučeno pro první ročník
magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální
analýzy - lokálně konvexní prostory a slabé topologie, teorie distribucí,
vektorová integrace, kompaktní konvexní množiny.
Course completion requirements -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (07.09.2023)
The rules for 2023/2024:
The course is finished by a credit and an exam.Before passing the exam it is necessary to gain the credit.
The credit will be awarded after complete and correct solution of two homeworks and presenting a correct solution of one problem during the classes.
If the submitted solution of a homework is not complete and correct, a correction should be provided. The number of iterations is not a priori limited.
Detailed rules will be specified at the webpage of the lecturer.
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (07.09.2023)
Pravidla pro akademický rok 2023/2024:
Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou. Předchozí získání zápočtu je nutnou podmínkou pro skládání zkoušky.
Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení dvou domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého příkladu na cvičení.
V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.
Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení budou upřesněny na webu přednášejícího.
Literature -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (15.09.2023)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (chapters 1-3 and 6-7)
M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (chapter 3)
J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (sections III.1-III.3)
R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (sections 2.3 and 3.3)
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (15.09.2023)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 (kapitoly 1-3 a 6-7)
M.Fabian et al.: Banach Space Theory, Springer 2011 (kapitola 3)
J.Diestel and J.J.Uhl: Vector measures, Mathematical Surveys and Monongraphs 15, American Mathematical Society 1977 (oddíly III.1-III.3)
R.R.Ryan: Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer 2002 (oddíly 2.3 a 3.3)
Requirements to the exam -
Last update: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)
The exam is oral with the possibility of a written preparation. Mainly knowledge and understanding of the notions and theorems explained during the semester will be tested. In addition, solving selected problems using the methods explained during the course will be a part of the exam. The lectures are the main source of materials for the exam.
Last update: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (29.09.2022)
Zkouška je ústní s možností písemné přípravy. Při zkoušce se testuje zejména znalost a porozumění pojmům a větám probraným na přednášce, a to včetně důkazů. Kromě toho součástí zkoušky bude řešení vybraných úloh pomocí přednesených metod. Hlavním podkladem pro zkoušku jsou přednášky a cvičení k nim.
Syllabus -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Locally convex spaces
Definitions of a topological vector spaces and of a locally convex space
Minkowski functionals, seminorms, generating locally convex topologies using seminorms
Boundedness in a locally convex space
Metrizability and normability of locally convex spaces
Continuous linear mappings between locally convex spaces, linear functionals
Hahn-Banach theorem - extending and separating
Fréchet spaces
Weak topologies - topology generated by a subspace of the algebraic dual, weak and weak* topologies, Goldstine, Banach-Alaoglu, reflexivity and weak compactness, bipolar theorem
konvoluce distribuce a testovací funkce, aproximativní jednotka
konvoluce dvou distribucí - příklady, že to někdy funguje
Schwarzův prostor jako Fréchetův prostor
Temperované distribuce a jejich charakterizace
Fourierova transformace temperovaných distribucí
konvoluce temperovaných distribucí
případně nosič distribuce
3. Základy vektorové integrace
Měřitelnost vektorových funkcí, Pettisova věta
Slabá integrovatelnost, Dunfordův a Pettisův integrál
Bochnerův integrál
Bochnerovy prostory
Dualita Bochnerových prostorů - informativně, bez důkazu
4. Konvexní kompaktní množiny
Extremální body
Krein-Milmanova věta
věta o integrální reprezentaci
Entry requirements -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)
Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and technics. It is required to know notions, methods and results from the course Introduction to Functional Analysis NMMA331. Knowledge of basic concepts of general topology (topological spaces, continuous mappings, compactness) is recommended.
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (01.09.2021)
Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice. Požaduje se znalost pojmů, metod a výsledků z předmětu Úvod do funkcionální analýzy (kód NMMA 331). Je doporučena znalost základních pojmů obecné topologie (topologické prostory, spojitá zobrazení, kompaktnost).