Introduction to Functional Analysis (OF) - NRFA106

• Title: Úvod do funkcionální analýzy (OF)
• Guaranteed by: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2019
• Semester: winter
• E-Credits: 6
• Hours per week, examination: winter s.:2/2, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: cancelled
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Class: DS, matematické a počítačové modelování
• Classification: Mathematics > Functional Analysis
• Pre-requisite : {Mathematics for physicists I, II}
• Incompatibility : NRFA075
• Interchangeability : NMMA931, NRFA009
• Is incompatible with: NMMA931
• Is interchangeable with: NMMA931

Annotation

English

Basic course of linear functional analysis concerning Banach and Hilbert spaces, basic principles of linear functional analysis and fundamentals of spectral theory of compact operators.

Last update: G_M (16.04.2010)

Czech

Jedná se o přednášku totožnou s NRFA006. Je však opatřena prerekvizitami, umožňujícími zápis studentům obecné fyziky, kteří absolvovali přednášku NMAF061 nebo NMAF062.

Last update: G_M (03.05.2010)

Literature

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Last update: G_M (16.04.2010)

Syllabus

English

Normed linear spaces, Banach and Hilbert spaces, linear functionals and operators, Hahn-Banach theorem, uniform boundedness principle, open mapping theorem, reflexive spaces, weak convergence, Riesz-Schauder theory of compact operators, Fredholm theorems

Last update: G_M (16.04.2010)

Czech

I. Základní pojmy

Banachovy a Hilbertovy prostory ,normované lineární prostory, příklady (konečně dimenzionální, spojité funkce na kompaktu, Radonovy míry, prostory posloupností, $L^p$-prostory), algebraické a topologické součty i doplňky, projekce, Hilbertův prostor, skalární součin, rovnoběžníkové pravidlo, Schwarzova nerovnost, ortogonální prvky, ortonormální systémy, Besselova nerovnost, ortonormální báze a jejich charakteristiky (úplnost, Parsevalova rovnost, Fourierův rozvoj), ortogonální projekce a její vlastnosti, ortogonální doplňky existence nejmenšího prvku pro uzavřené podprostory a jeho charakteristika, Rieszova věta o skoro kolmici, kompaktnost jednotkové koule, charakteristika prostorů konečné dimenze, lineární zobrazení a funkcionály, algebraická verze Hahn-Banachovy věty, spojitost a omezenost lineárního zobrazení, norma spojitého lineárního zobrazení, prostor spojitých lineárních zobrazení, jeho úplnost, duální prostor, izometrická a izomorfní zobrazení, Fréchet-Rieszova věta o spojitých lineárních funkcionálech na Hilbertově prostoru, popis duálů konkrétních prostorů ($L^p$-prostory, Hilberovy prostory, $\Cal C (K)$, prostory posloupností), druhý duál,analytická verze Hahn-Banachovy věty, speciální Hahn-Banachova věta o tečné nadrovině a oddělování bodů, kanonické vnoření $X$ do $X^{**}$ a jeho vlastnosti, reflexivní prostory, reflexivita Hilbertových a $L^p$-prostorů, adjungovaná zobrazení v Banachových a Hilbertových prostorech, slabá konvergence, úvod do problematiky (Bolzano-Weierstrassova věta, kompaktnost v nekonečné dimenzi), slabá konvergence v $X$, příklady, problém definice slabých konvergencí v $X^*$.

II. Základní věty funkcionální analýzy

Baireova věta o kategoriích, princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta, silná omezenost slabě konvergentních posloupností (Eberlein-Šmuljanova) charakteristika reflexivních prostorů, konvergence Fourierových řad (přehledně: problém konvergence pro spojité funkce, - sčítatelnost Fourierových řad, $L^2$-konvergence, Carlesonův výsledek, existence spojitých funkcí s divergentní Fourierovou řadou) , věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu, spojitost lineárního inverzního zobrazení

III. Spektrální teorie kompaktních operátorů

Operátory v Banachových prostorech, lineární rovnice v $\bold R ^n$, lineární zobrazení a matice, Fredholmovy a Volterrovy integrální rovnice, jádra, integrální operátory, vlastní vektory a vlastní hodnoty, invertibilní operátory versus prosté operátory, které jsou na, vyjádření inverze pomocí Neumannovy řady, otevřenost množiny invertibilních operátorů, pojem spektra omezeného lineárního operátoru, kompaktní operátory, kompaktní operátory a jejich vlastnosti, příklady (Fredholmovy a Volterrovy operátory), charakteristika kompaktních operátorů v Hilbertových prostorech, Schauderova věta o kompaktnosti adjungovaného operátoru, Riesz-Schauderova teorie, Fredholmova alternativa, struktura spektra kompaktního operátoru, pojem anihilátoru (kolmice) a jeho základní vlastnosti.

Last update: G_M (16.04.2010)