Last update: G_M (04.05.2010)
1. TEORIE DISTRIBUCÍ
1.A. Prostor testovacích funkcí
prostor testovacích funkcí a konvergence na něm
1.B. Distribuce
pojem distribuce, příklady distribucí
1.C. Operace s distribucemi
derivace distribucí, bodová limita distribucí, derivování řad ve smyslu distribucí, násobení distribucí hladkou funkcí, Schwartzova věta
1.D. Fourierova transformace
Sobolevovy prostory - základní vlastnosti, Schwartzův prostor a Fourierova transformace pro funkce z $L^1$ , temperované distribuce a jejich Fourierova transformace
2. SPEKTRÁLNÍ TEORIE
2.A. Hermiteovské operátory
hermiteovsky adjungované zobrazení (existence a vlastnosti), souvislost s banachovsky adjungovaným zobrazením, diagonalizace matic, věta o hlavních osách, hermiteovské a normální operátory, příklady norma hermiteovského operátoru, charakteristika zdola omezených operátorů, Weylovo kriterium a jeho důsledky (spektrum hermiteovského operátoru, spektrum hermiteovského kompaktního operátoru), Hilbert-Schmidtova věta (o úplnosti soustavy vlastních vektorů) a její důsledky (Hilbert-Schmidtova diagonalizace, holomorfnost, póly a rezidua rezolventní funkce, řešení operátorových rovnic rozvojem v řady)
2.B. Funkční kalkulus
obecný pojem funkčního kalkulu, Dunfordův analytický kalkulus pro případ funkcí holomorfních na okolí spektra, Rieszův funkční kalkulus pro hermiteovské operátory a funkce spojité na spektru, pozitivní operátory, odmocnina, absolutní hodnota, rozšíření funkčního kalkulu pro omezené borelovské funkce na spektru
2.C. Spektrální věty
spektrální rozklad hermiteovského operátoru a souvislost, spektrální věty s Hilbert-Schmidtovou větou, spektrální třída a spektrální míra, obecná spektrální věta, početní technika: operátory (norma, spektrum, adjungovaný operátor,...), funkční kalkulus, distribuce, Fourierova transformace funkcí a distribucí, vědomosti z Úvodu do funkcionální analýzy, vlastnosti základních příkladů Banachových a Hilbertových, prostorů, topologické doplňky, promítání v Banachových a Hilbertových prostorech, ortonormální báze, prostor lineárních zobrazení, Fréchet-Rieszova věta o reprezentaci lineárních funkcionálů na Hilbertových prostorech, popisy různých duálů, Hahn-Banachova věta včetně důsledků, kanonické vnoření a reflexivní prostory, kompaktní operátory, adjungovaná zobrazení, slabé konvergence, princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, uzavřená zobrazení, kompaktnost a slabá kompaktnost jednotkové koule v Banachových prostorech, spektrum kompaktního operátoru
