Introductory Seminar on Theoretical Mechanics - NOFY069

• Title: Proseminář z teoretické mechaniky
• Guaranteed by: Laboratory of General Physics Education (32-KVOF)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2021
• Semester: winter
• E-Credits: 2
• Hours per week, examination: winter s.:0/2, C [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Additional information: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/TMF069
• Guarantor: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc.
• Teacher(s): prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc.

Annotation

English

Supplement of the lecture Theoretical mechanics (NOFY003). Modern mathematical approaches (the formalism of differential geometry, group theory), selected recent topics (non-linear dynamical systems, chaos). The crucial point of the seminar is the invariant form of the Lagrange and Hamilton formalisms.

Last update: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (10.06.2019)

Czech

Proseminář je koncipován jako doplněk přednášky Teoretická mechanika (NOFY003). Jeho smyslem je prohloubit a rozšířit pojmy a metody analytické mechaniky. Posluchači se seznámí jak s moderními matematickými přístupy, tak s vybranými fyzikálními tématy. Jádrem semináře je zavedení a pochopení "bezsouřadnicového zápisu" Lagrangeova a Hamiltonova formalismu v jazyce diferenciální geometrie.

Last update: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (10.06.2019)

Course completion requirements

Zápočet se uděluje na základě úspěšně absolvovaného krátkého závěrečného písemného testu z témat, které byly v daném akademickém roce probrány.

Tento předmět byl od roku 2005 do roku 2019 vyučován pod kódem NTMF069 a názvem Proseminář teoretické fyziky I.

Historii předmětu na MFF UK (počty studentů, výsledky anket) lze proto dohledat po zalogování do SIS na stránce NTMF069.

Last update: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (27.09.2020)

Literature

J.Podolský: Teoretická mechanika ve třech knihách, Karolinum a MatfyzPress, Praha, 2024

M.Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, Iris, Bratislava, 2004.

R.Abraham,J.E.Marsden: Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, Reading, 1985.

V.I.Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York, 1978.

W.M.Oliva: Geometric Mechanics, Springer, Berlin, 2002.

J.V.José,E.J.Saletan: Classical Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

B.F.Schutz: Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Last update: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (05.10.2024)

Syllabus

English

Modern mathematical approaches (the formalism of differential geometry, group theory), selected recent topics (non-linear dynamical systems, chaos). Invariant form of the Lagrange and Hamilton formalisms.

Last update: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (10.06.2019)

Czech

Holonomní a neholonomní vazby. Vazba coby diferencovatelná varieta. Funkce a křivka na varietě, tečný a kotečný prostor, vektory a formy, tečný a kotečný bandl, fíbrované prostory. Aplikace: d'Alembertův princip a Lagrangeovy rovnice.

Fázový portrét dynamického systému, fyzikální stav a orbita vektorového pole. Konfigurační varieta Q, zobecněné souřadnice. Tečný bandl TQ coby aréna lagrangeovské mechaniky. Lagrangeova funkce, dynamické vektorové pole a jeho integrální křivky na TQ. Lieova derivace, Lieova závorka. Lagrangeovy pohybové rovnice v čistě geometrické řeči. Aplikace: zákony zachování, teorém Emmy Noetherové, kalibrační invariance.

Kotečný bandl T*Q coby aréna hamiltonovské mechaniky: fázová varieta, zobecněné souřadnice a kanonické hybnosti. Hamiltonián na T*Q jako Legendreova transformace lagrangiánu na TQ. Symplektická matice: jednotný zápis Hamiltonových kanonických rovnic a Poissonových závorek.

Geometrická struktura fázové variety. Operace s formami: vnější součin a vnější derivace. Symplektická 2-forma, T*Q coby symplektická varieta. Hamiltonovské vektorové pole, geometrická definice Poissonových závorek, hamiltonovská verze teorému Noetherové. Kanonické transformace na fázové varietě. Liouvilleova a Darbouxova věta. Hamiltonova-Jacobiho metoda. Proměnné akce-úhel a integrabilní systémy, adiabatická invariance.

Last update: Podolský Jiří, prof. RNDr., CSc., DSc. (10.06.2019)