The first course of numerical analysis for students of mathematics. Basic numerical methods for interpolation, approximation of functions, solving systems of linear algebraic equations, solving nonlinear equations and their systems. Initial value problem for ordinary differential equtions. Difference equations. Optimization.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Základní kurs numerické matematiky pro obor matematika. Základní numerické metody: interpolace, aproximace, řešení
úloh lineární algebry, řešení nelineárních rovnic. Počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Soustavy diferenčních
rovnic. Optimalizace.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Aim of the course -
To give a basic knowledge in numerical mathematics
Last update: FEIST/MFF.CUNI.CZ (28.04.2008)
Seznámit posluchače se základními numerickými metodami
Last update: FEIST/MFF.CUNI.CZ (28.04.2008)
Literature -
Stoer J., Bullirsch R.: Introduction to Numerical Analysis, Springer, l978
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Segethová J.: Základy numerické matematiky, Karolinum, 2002
Ralston A.: Základy numerické matematiky, Academia, Praha, 1978
Vitásek E.: Numerické metody, SNTL, Praha, 1987
Feistauer M.: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, 1981
Stoer J., Bullirsch R.: Introduction to Numerical Analysis, Springer, 1978
Quarteroni A., Sacco R., Saleri F.: Numerical mathematics, Springer 2000
Last update: Dolejší Vít, prof. RNDr., Ph.D., DSc. (05.09.2013)
Teaching methods -
Lectures and tutorials in a lecture hall.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Přednášky a cvičení v posluchárně.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Requirements to the exam -
Examination according to the syllabus.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Zkouška dle sylabu.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Syllabus -
Numerical methods of linear algebra. LU decomposition, elimination method, matrix iterative methods, power method .
Interpolation of functions. Lagrange and Hermite polynomials. Spline functions. Least-square approximation.
Qudrature formulas. Gaussian and Newton-Cotes formulas.
Solution of Nonlinear Equations.
Systems of linear difference equations, homogeneous, nohomogeneous systems, fundamental system of solutions, systems with constant coefficients.
Numerical solution of ordinary differential equations. a) One-step methods: Examples, general one-step methods, local discretization error, accumulated discretization error, convergence, consistency, error estimates, round-off errors, aposteriori error estimate, derivation of some formulae, Runge-Kutta methods. b) Multi-step methods, general framework, convergence, stability, consistency, order of the method, error estimates, derivation of some multi-step schemes.
Some optimization methods. Elements of convex analysis, steepest descent methods with constant and optimal step, convergence.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Numerické metody lineární algebry. Podmíněnost matic, normy. Gaussova eliminace a trojúhelníkový rozklad, základní maticové iterační metody, výpočet dominantního vlastního čísla reálné symetrické matice, Rayleighovy podíly.
Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav. Věta o pevném bodě a její aplikace, Aitkenův proces pro urychlení konvergence, metoda regula falsi, Newtonova metoda pro řešení jedné rovnice a pro řešení soustav nelineárních rovnic, separace kořenů algebraické rovnice, Sturmova posloupnost.
Soustava diferenčních rovnic, lineární soustava homogenní, nehomogenní, fundamentální systém řešení homogenní soustavy, nalezení fundamentálního systému řešení rovnic s konstantními koeficienty.
Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. a) Jednokrokové metody: Příklady nejjednodušších jednokrokových metod, definice obecné jednokrokové metody, přírůstková funkce. Lokální diskretizační chyba, akumulovaná diskretizační chyba, konvergence metody, konsistence, nutná a postačující podmínka pro konvergenci, odhady diskretizačních a zaokrouhlovacích chyb, odhad chyby metodou polovičního kroku, konkrétní metody a jejich odvození: metoda Eulerova, metody založené na přímém použití Taylorova vzorce, Rungeovy-Kuttovy metody. b) Vícekrokové metody: Obecné vícekrokové metody, metody explicitní, implicitní, prediktor-korektor, definice konvergence, stability a konsistence, řád metody, nutné a postačující podmínky pro konvergenci, odhady chyb, odvození vícekrokových metod.
Některé optimalizační metody. Postačující podmínky pro existenci minima funkcí více proměnných, nutné podmínky, stacionární body, konvexní funkce, metoda největšího spádu s konstantním a optimálním krokem, věty o konvergenci, metoda sdružených gradientů.
Last update: T_KNM (19.05.2008)
Entry requirements -
basic knowledge of calculus and linear algebra
Last update: FEIST/MFF.CUNI.CZ (28.04.2008)
základní znalosti z diferenciálního a integrálního počtu a z lineární algebry
