Basic course in mathematical analysis (Fourier series, metric spaces, normed linear spaces).
Last update: T_KDM (12.04.2016)
Základní přednáška z matematické analýzy pro magisterské učitelské studium (Fourierovy řady, metrické
prostory, normované lineární prostory).
Last update: T_KDM (11.05.2015)
Course completion requirements -
It is necessary to pass two written tests during the term. If necessary, the second test might be assigned online.
Last update: Slavík Antonín, doc. RNDr., Ph.D. (29.04.2020)
Podmínkou získání zápočtu je úspěšné napsání dvou zápočtových písemek. Nebude-li možné zadat druhou písemku při prezenční výuce, může být uskutečněna distančním způsobem.
Last update: Slavík Antonín, doc. RNDr., Ph.D. (29.04.2020)
Literature -
A. Pinkus, S. Zafrany: Fourier Series and Integral Transforms. Cambridge University Press, 1997.
J. Muscat: Functional Analysis. An Introduction to Metric Spaces, Hilbert Spaces, and Banach Algebras. Springer, 2014.
W. A. Sutherland: Introduction to Metric and Topological Spaces (Second Edition). Oxford University Press, 2009.
W. Rudin: Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976.
Last update: T_KDM (12.04.2016)
I. Netuka: Základy moderní analýzy, Matfyzpress, Praha, 2014.
J. Veselý: Základy matematické analýzy (druhý díl), Matfyzpress, Praha, 2009.
J. Kopáček: Matematická analýza nejen pro fyziky IV, Matfyzpress, Praha, 2009.
A. Pinkus, S. Zafrany: Fourier Series and Integral Transforms. Cambridge University Press, 1997.
J. Muscat: Functional Analysis. An Introduction to Metric Spaces, Hilbert Spaces, and Banach Algebras. Springer, 2014.
W. A. Sutherland: Introduction to Metric and Topological Spaces (Second Edition). Oxford University Press, 2009.
W. Rudin: Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976.
Last update: T_KDM (12.04.2016)
Requirements to the exam -
An oral exam following the syllabus of the subject in the scope of the lecture.
Last update: Slavík Antonín, doc. RNDr., Ph.D. (28.10.2019)
Zkouška z předmětu je ústní. Požadavky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu prezentovaném na přednášce.
Last update: Slavík Antonín, doc. RNDr., Ph.D. (28.10.2019)
Syllabus -
Fourier series: Trigonometric polynomial, trigonometric series, uniform convergence of trigonometric series, Fourier coefficients. Orthonormal set in L^2, Bessel's inequality, Riesz-Fischer theorem, complete orthonormal set, Parseval's identity. Riemann-Lebesgue lemma. Pointwise convergence of Fourier series. Parseval's identity for trigonometric system, completeness of trigonometric system.
Metric spaces, normed linear spaces: Metric, metric space, subspace, examples; norm, normed linear space, examples. Basic concepts in metric spaces: open and closed set; properties of the system of open and closed sets; topology, topological space; accumulation point, isolated point, closure, interior, diameter of a set.
Continuous mappings, convergence: Continuous mapping at a point (metric spaces). Continuity and preimages of open set; convergent sequence in a metric space, uniqueness of a limit, characterization of continuity using sequences.
Complete metric spaces: Cauchy sequence, complete space, examples. Subset of a complete space is complete if and only if it is closed. Cantor's intersection theorem. Contraction mapping, Banach fixed point theorem.
Last update: T_KDM (12.04.2016)
Fourierovy řady: Trigonometrický polynom, trigonometrická řada, stejnoměrná konvergence trigonometrické řady, Fourierovy koeficienty. Ortonormální množina v L^2, Besselova nerovnost, Rieszova-Fischerova věta, úplná ortonormální množina, Parsevalova rovnost. Riemann-Lebesgueovo lemma. Bodová konvergence Fourierovy řady. Parsevalova rovnost pro trigonometrický systém, úplnost trigonometrického systému.
Metrické prostory, normované lineární prostory: Metrika, metrický prostor, podprostor, příklady; norma, normovaný lineární prostor, příklady. Základní pojmy z metrických prostorů: otevřená a uzavřená množina; vlastnosti systému otevřených a systému uzavřených množin; topologie, topologický prostor; hromadný bod, izolovaný bod, uzávěr, vnitřek, průměr množiny.
Spojitá zobrazení, konvergence: Spojité zobrazení v bodě (metrické prostory). Spojitost a vzory otevřených množin; konvergentní posloupnost v metrickém prostoru, jednoznačnost limity, charakterizace spojitosti pomocí posloupností.
Úplné metrické prostory: Cauchyovská posloupnost, úplný prostor, příklady. Podmnožina úplného prostoru je úplný podprostor, právě když je uzavřená. Prostor je úplný, právě když každá nerostoucí posloupnost neprázdných uzavřených množin s průměry konvergujícími k nule má jednobodový průnik (Cantorova věta). Kontrahující zobrazení, Banachova věta o pevném bodě.
