Last update: RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. (14.06.2019)
An introductory course and seminar whose aim is to provide a firm foundation for arithmetic and algebra. It
focuses especially on number sets, operations, ordering, and linear and quadratic equations.
Last update: RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. (25.01.2018)
Úvodní přednáška a seminář podávající pevnější základy aritmetiky a algebry, zejména nejdůležitější poznatky o
přirozených, celých a racionálních číslech, dělitelnosti, permutacích a základních algebraických strukturách.
Course completion requirements -
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (29.10.2019)
The condition for obtaining credit is successful completion of two written tests.
The final exam verifies practical and theoretical knowledge and skills,
i.e. understanding of concepts (definitions), understanding of knowledge (theorems),
written test (120 minutes), it is possible to use a separate calculator (not on mobile).
It is necessary to demonstrate understanding of all topics discussed during the semester.
portfolio evaluation.
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (29.10.2019)
Podmínkou získání zápočtu je úspěšné absolvování dvou písemných testů.
Závěrečná zkouška prověřuje praktické i teoretické znalosti a dovednosti,
tj. porozumění pojmům (definice), porozumění poznatkům (věty),
porozumění matematickému odvozování a zdůvodňování (důkazy), ovládnutí početních postupů (příklady),
formulační dovednosti (vyjadřování slovem a písmem s využitím matematické symboliky).
Závěrečná zkouška:
je písemná (120 minut), je možno užívat samostatnou kalkulačku (ne v mobilu).
Je třeba prokázat porozumění všem tématům probíraným v průběhu semestru.
sestává také z hodnocení portfolia (vypracování průběžně zadávaných domácích cvičení).
Literature -
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (14.06.2019)
Basic literature:
Dlab V., Bečvář J.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016.
Supplementary literature:
Stanovský D.: Základy algebry. Matfyzpress, Praha, 2010.
Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I. SPN, Praha, 1983.
Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika II. SPN, Praha, 1985.
Katriňák T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I. Alfa, Bratislava, 1985.
Šalát T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika II. Alfa, Bratislava, 1986.
Last update: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc. (24.05.2022)
Povinná literatura:
Dlab V., Bečvář J.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016.
Doporučená literatura:
Stanovský D.: Základy algebry. Matfyzpress, Praha, 2010.
Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I. SPN, Praha, 1983.
Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika II. SPN, Praha, 1985.
Katriňák T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I. Alfa, Bratislava, 1985.
Šalát T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika II. Alfa, Bratislava, 1986.
Syllabus -
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (14.06.2019)
Natural numbers. The path from natural numbers to integers. Operations and their properties. Ordering and its properties. Divisibility. The basic theorem of arithmetic.
The path from integers to rational numbers. Operations and their properties. Ordering and its properties. Decimal expansions.
Incommensurability, irrationality. The path to real numbers. Decimal expansions. Ordering. Real axis.
Arithmetic, geometric and harmonic mean.
Calculating with letters. Algebraic expressions and their transformations. Algebraic formulas and their geometric interpretation.
Linear equations and their geometric meaning. Quadratic equations and their solvability. Vièta's formulas.
Complex numbers as pairs of real numbers, their algebraic and geometric form. Derivation of trigonometric formulas. Gaussian numbers. Dual numbers.
Last update: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc. (24.05.2022)
Úvod: definice, věty, důkazy a jejich struktura. Množiny. Relace, ekvivalence, uspořádání, úplné uspořádání. Zobrazení, binární operace.
Dělitelnost: největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Přirozená čísla jako svaz, prvočísla, Eukleidova věta o nekonečném počtu prvočísel. Fermatova čísla a prvočísla.
Eukleidův algoritmus a jeho aplikace. Bezoutova věta, Eukleidovo lémma, základní věta aritmetiky, zápis čísel v jiných číselných soustavách.
Prvočísla: Eratosthenovo síto, Matijasevičova parabola. Mersennova čísla a prvočísla, dokonalá čísla, věta Eukleidova a Eulerova.
Konstrukce oboru integrity celých čísel, konstrukce pole racionálních čísel, abstraktní podstata těchto konstrukcí.
Řetězové zlomky: vyjádření racionálních čísel řetězovými zlomky, konvergenty.
Grupy: definice, základní vlastnosti, cyklické grupy, grupy symetrií, homomorfismy.
Permutace: skládání, inverze, znaménko, rozklad na nezávislé cykly a transpozice, trojcykly. Symetrická grupa stupně n, alternující grupa stupně n.
Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi: okruhy, obory integrity, tělesa, pole. Podstruktury, ideály. Homomorfismy. Gaussova celá čísla, neobvyklé příklady oborů integrity.
