This lecture is based on a text of the world's leading topologist John
Milnor, and it is an
introduction to a very modern part of topology. In contrary to the
general ("point-set")
topology, where the basic notions are continuous mapping and
homeomorphism,
the basic notions in differential topology are smooth mapping and
diffeomorphism.
Instead of general topological spaces, more special objects, so-called
smooth manifolds,
are studied. But here a highly nontrivial fact can be shown that a
diffeomorphism is a
more subtle equivalence relation than a homeomorphism.
The topics studied in the lecture are ,e.g., the integer-valued degree
of a map and the index
of a vector field at its isolated null point. Besides many interesting
theorems one can solve,
by the developed technics, various well-known mathematical puzzles, like
the problem of "hair-styling of a sphere". The subject can be tought in English.
Last update: ()
Přednáška je založena na textech předního světového topologa J.Milnora a je úvodem do u nás méně známé ,ale ve světě vysoce aktuální oblasti topologie. Na rozdíl od obecné (množinové) topologie, kde základními pojmy jsou spojité zobrazení a homeomorfismus, v diferenciální topologii jsou základními pojmy hladké zobrazení a difeomorfismus. Studují se zde sice speciální objekty, tzv. hladké variety, ale na těchto objektech se ukazuje, že difeomorfismus je jemnější relace ekvivalence než homeomorfismus. Studovaná témata jsou například celočíselný stupeň zobrazení a index vektorového pole v jeho nulovém bodě. Kromě řady zajímavých vět lze získanými prostředky řešit různé známé matematické hlavolamy jako je například "problém učesání koule".
Předmět může být vyučován anglicky.
Aim of the course -
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
The goal of this topic is to acquaint the students with a new branch of topology, which completes other courses of
topology taught at the Faculty.
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
Cílem předmětu je seznámit studenty s novým odvětvím topologie, které vhodně doplňuje ostatní přednášky o topologii.
Literature -
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
J. Milnor, A.H. Wallace: Differencial topology, introductory course.
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
J. Milnor, A.H. Wallace: Differencial topology, introductory course (překlad do ruštiny MIR, Moskva 1972)
Teaching methods -
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
The method of teaching is a standard lecture.
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
Metodou výuky je standardní přednáška
Syllabus -
Last update: T_MUUK (16.05.2003)
Smooth manifolds and maps. Regular and critical values, Theorems by Sard and Brown. Manifolds with boundary. Classification of 1-dimensional manifolds with boundary. Brouwer's fixed-point theorem in smooth case. The degree modulo 2 of a map. Smooth homotopies and isotopies, the proof of the unique existence of the degree modulo 2 in the non-oriented case. Oriented manifolds. Brouwer's integer degree of a map. Applications: Problem of existence of smooth nonzero vector fields on the spheres. Index of a vector field at an isolated zero. Poincare-Hopf theorem on the sum of indexes of a vector filed (with isolated zeros).
Last update: ()
Hladké variety a zobrazení. Regulární a kritické hodnoty, Sardova a Brownova věta. Variety s okrajem. Klasifikace jednorozměrných variet s okrajem. Brouwerova věta o pevném bodě (hladký případ). Stupeň zobrazení modulo 2. Hladká homotopie a izotopie, důkaz existence stupně zobrazení. Orientované variety, Brouwerův celočíselný stupeň zobrazení. Aplikace. Problém existence hladkých nenulových vektorových polí na sférách. Index vektorového pole v izolovaném nulovém bodě. Poincarého-Hopfova věta o součtu indexů vektorového pole.
