Existence and unicity theorems, global existence, continuous and differentiable dependence on initial conditions and parameters, linear systems and linear equations of the n-th order. Autonomous equations, dynamical systems.
Periodic and bounded solutions of linear systems, Floquet theory.
Lyapunov stability, linearization theorems, Lyapunov functions, La Salle principle.
Topological equivalence of linear systems; Hartman-Grobman theorem; stable, unstable, central manifolds.
Bifurcation from the equilibrium, normal forms.
Boundary value problems for the second order linear equations.
Last update: T_KMA (28.04.2003)
Chování v okolí stacionárního bodu, stabilita, okrajové
úlohy.
Předpokládá se znalost Matematické analýzy prvního dvouletí.
Last update: T_KMA (27.04.2006)
Syllabus -
Solution of a differential equation, existence, uniqueness, elementary methods of integration.
Maximal solutions, global existence, Gronwall lemma.
Linear systems and linear equations of n-th order, existence, uniqueness, fundamental system, variation of constants. Constant coefficients.
Types of stability, Ljapunov function, orbital stability.
Controllability and stabilizability of linear systems by feedback, quadratic optimal control problem for linear systems.
Last update: G_M (04.05.2010)
Peanova věta o lokální existenci řešení. Lokální a globální jednoznačnost řešení. Postačující podmínky lokální jednoznačnosti. Maximální řešení - existence, charakterizace. Věta o opuštění kompaktu. Gronwallovo lemma. Řešicí funkce - spojitost, diferencovatelnost.
Lineární rovnice: globální existence a jednoznačnost řešení. Fundamentální matice. Wronskián, Liouvilleova formule. Variace konstant v integrálním tvaru. Lineární systémy s konstantními koeficienty. Exponenciála matice a její vlastnosti. Stabilní, nestabilní a centrální podprostory.
Stabilita, asymptotická stabilita. Uniformní stabilita. Stabilita lineárních rovnic. Věty o linearizované stabilitě a nestabilitě.
První integrál, orbitální derivace. Existence prvních integrálů. Aplikace: metoda charakteristik.
Rovnice vyššího řádu: převedení na systém rovnic prvního řádu. Věty o lokální (globální pro lineární případ) existenci a jednoznačnosti řešení. Variace konstant.
Stabilita podruhé: Ljapunovská funkce, Ljapunovovy věty o stabilitě a nestabilitě. Ljapunovovova rovnice.
Floquetova teorie. Logaritmus matice. Existence periodických řešení a jejich stabilita.
