Classical solvability of boundary and initial value problems for partial differential equations. Systems of the first order, elliptic, parabolic and hyperbolic equations of the second order.
Last update: T_KMA (15.05.2001)
Klasická řešení okrajových a počátečních úloh pro parciální diferenciální rovnice. Soustavy 1. řádu, eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice 2. řádu.
Literature - Czech
Last update: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (05.08.2002)
John O., Nečas J.: Rovnice matematické fyziky, SPN 1972
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999
M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer 1993
Syllabus -
Last update: T_KMA (15.05.2003)
I. PDEs of first order and their connection with the systems of ODEs. Fundamental systems of solutions. Cauchy problem for transport and Burgers' equations - examples of the non-existence of a global classical solution. II. Theorem of Cauchy-Kowalevska. Higher order partial differential equations. Characteristics. Classification of PDEs of the second order.
III. PDEs of elliptic type. Laplace and Poisson equations. Fundamental solutions, Green representation formula. Poisson's formula. Properties of harmonic functions: Mean-value formula, strong maximum principle, Liouville's theorem, analyticity, theorem on removable singularity, Harnack's theorems, Uniqueness of the solution for external Dirichlet problem in case of d>2. Existence of classical solution. Energy inequalities - proof of uniqueness. Dirichlet Principle.
IV. Heat equation. Fundamental solution. Poisson formula for the classical solution of Cauchy problem. Duhamel's principle. Maximum principles the initial-boundary value problem and for Cauchy problem. Uniqueness results. Energy inequalities.
V. Wave equation. Uniqueness result. Fundamental solutions for n = 1, 2, 3. Classical solution of Cauchy problem for n = 3. D'Alembert, Poisson and Kirchhoff formula. Duhamel principle.
Last update: T_KMA (15.05.2001)
I. Parciální diferenciální rovnice 1. řádu a jejich vztah k soustavám obyčejných diferenciálních rovnic. Fundamentální systém řešení. Cauchyova úloha pro transportní a Burgersovu rovnici - příklady neexistence globál- ního klasického řešení.
II. Věta Cauchyova - Kovalevské. Rovnice vyššího řádu. Pojem charakteris- tického směru, bodu a plochy pro lineární rovnice. Klasifikace rovnic druhého rádu.
III. Klasická řešení základních typů rovnic druhého řádu. a) Laplaceova a Poissonova rovnice. Fundamentální řešení, věta o třech potenciálech. Poissonův integrál. Věta o průměru a obrácená věta o průměru, silný princip maxima. Liouvilleova věta, analytičnost řešení, věta o odstranitelné singularitě, Harnackovy věty. Jednoznačnost řešení pro vnitřní a vnější Dirichletovu úlohu pro n alespoň 3. Existence klasic- kého řešení. Energetické metody - jednoznačnost. Dirichletův princip.
b) Rovnice vedení tepla. Fundamentální řešení. Poissonův vzorec pro kla- sické řešení Cauchyovy úlohy pro homogenní i nehomogenní rovnici vedení tepla. Duhamelův princip. Věty o jednoznačnosti, principy maxima pro Cauchyovu a Dirichletovu okrajovou úlohu pro rovnici vedení tepla. Ener- getické metody.
c) Vlnová rovnice. Věta o jednoznačnosti, fundamentální řešení vlnové rovnice pro n = 1,2,3. Klasické řešení Cauchyovy úlohy pro n=3. D'Alembertova, Poissonova a Kirchhoffova formule. Duhamelův princip.
