Metrika v projektivní geometrii
| Thesis title in Czech: | Metrika v projektivní geometrii |
|---|---|
| Thesis title in English: | Metric in Projective Geometry |
| Key words: | kuželosečky|Cayley-Kleinova metrika|projektivní prostor |
| English key words: | conic sections|Cayley-Klein metrics|projective space |
| Academic year of topic announcement: | 2023/2024 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Mathematics Education (32-KDM) |
| Supervisor: | Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 27.11.2023 |
| Date of assignment: | 27.11.2023 |
| Confirmed by Study dept. on: | 06.02.2024 |
| Guidelines |
| Cílem práce bude srozumitelně zavést vzdálenost dvou bodů a velikost úhlu v projektivní rovině a upozornit na některé zajímavé souvislosti, které se k tomu váží, zejména srozumitelně vysvětlit myšlenku Felixe Kleina: „To look upon affine geometry as well as metric geometry as special cases of projective geometry.“
Nejprve bude stručně na několika příkladech zasahujících do SŠ matematiky naznačeno, proč je výhodné v mnoha situacích zkoumat geometrické vlastnosti právě v projektivní rovině (přímky, kuželosečky). Tyto motivační úvahy povedou k názornému zavedení homogenních souřadnic. Stručně budou zmíněny afinní a projektivní transformace, dělicí poměr a dvojpoměr, Kleinův Erlangenský program. Následovat budou odvození vztahu pro vzdálenost dvou bodů a pro odchylku dvou přímek (Laguerrova formule) v projektivní rovině. Závěr bude věnován vybraným důsledkům zavedení metriky v projektivní rovině pro interpretaci vztahů mezi různými typy geometrií (projektivní, afinní, eukleidovská, případně mohou být zahrnuty i neeukleidovské geometrie). |
| References |
| Richter-Gerbert, J.: Perspectives on Projective Geometry. A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Springer, 2011.
Cayley, A.: Sixth Memoire upon Quantics. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 159(1859), 61-91. Klein, F.: Elementary Mathematics from a Higher Standpoint. Volume II: Geometry. Translated by Gert Schubring. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2016. |
| Preliminary scope of work |
| V Kleinově klasifikaci geometrií stojí nejníže projektivní geometrie, následují geometrie afinní, podobnostní a eukleidovská.
Tímto způsobem také bývají uspořádány přednášky z geometrie v bakalářském studiu. V tomto světle působí velmi překvapivě výrok Arthura Cayleyho: "Projective geometry is all geometry." i program samotného Felixe Kleina uvedený níže. Cílem práce bude srozumitelně provést program Felixe Kleina: "To look upon affine geometry as well as metric geometry as special cases of projective geometry.", který mimo jiné stručně shrnul ve svém klasickém díle věnovaném elementární matematice. V projektivním prostoru jsou zahrnuty nevlastní body ("body v nekonečnu"). Zpočátku může být překvapivé, že jim lze rozumným způsobem přiřadit souřadnice, které jsou reálnými čísly. Vzniká tak otázka, zda je možno jít ještě dále a zavést v projektivním prostoru rozumným způsobem metriku. 1. Na začátku tedy bude stručně na několika příkladech zasahujících do SŠ matematiky naznačeno, proč je výhodné v mnoha situacích zkoumat geometrické vlastnosti právě v projektivní rovině (přímky, kuželosečky). 2. Popis bodů v nekonečnu, projektivní rovina. Afinní a projektivní transformace. Dělicí poměr a dvojpoměr. 3. Vzdálenost dvou bodů a odchylka dvou přímek v projektivní rovině. 4. Důsledky pro interpretaci vztahů mezi různými typy geometrií (projektivní, afinní, eukleidovská, případně mohou být zahrnuty i neeukleidovské geometrie). |