The Helly numbers of systems of sets with bounded algebraic and topological complexity
| Thesis title in Czech: | Hellyho čísla systémů množin s omezenou algebraickou a topologickou složitostí |
|---|---|
| Thesis title in English: | The Helly numbers of systems of sets with bounded algebraic and topological complexity |
| Key words: | Hellyho číslo, nulové množiny polynomů, systémy pseudosfér, kombinatorická geometrie |
| English key words: | Helly number, zero sets of polynomials, systems of pseudospheres, combinatorial geometry |
| Academic year of topic announcement: | 2015/2016 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | angličtina |
| Department: | Department of Applied Mathematics (32-KAM) |
| Supervisor: | doc. RNDr. Martin Tancer, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 15.09.2015 |
| Date of assignment: | 15.09.2015 |
| Confirmed by Study dept. on: | 22.09.2015 |
| Date and time of defence: | 16.06.2016 00:00 |
| Date of electronic submission: | 15.05.2016 |
| Date of submission of printed version: | 27.05.2016 |
| Date of proceeded defence: | 16.06.2016 |
| Opponents: | RNDr. Zuzana Patáková, Ph.D. |
| Guidelines |
| Cílem práce je seznámit se s větami Hellyho typu v kontextu množin s omezenou algebraickou a topologickou složitostí. Tedy například pro
systémy množin, které jsou nulovými množinami polynomů omezeného stupně nebo pro systémy pseudosfér. Dále je cílem studenta pokusit se vylepšit odhad na Hellyho číslo pro takovéto systémy. |
| References |
| J. Matoušek: Lectures on Discrete Geometry, Springer 2002
X. Goaoc, P. Patak, Z. Safernova, M. Tancer, U. Wagner: Bounding Helly numbers via Betti numbers, arXiv:1310.4613 H. Maehara: Helly-type theorems for spheres. Discrete & Computational Geometry, 4(1):279-285, 1989. M. Deza, P. Frankl: A Helly type theorem for hypersurfaces. Journal of Combinatorial Theory, Series A 45.1 (1987): 27-30. S. T. Motzkin: A proof of Hilbert's Nullstellensatz. Mathematische Zeitschrift 63.1 (1955): 341-344. |
| Preliminary scope of work |
| Hellyho věta v R^d říká, že kdykoliv máme soubor F alespoň d+1 konvexních množin v R^d takových, že každých d+1 množin z F má neprázdný průnik, potom celý soubor F má neprázdný průnik. Hellyho věta má různá zobecnění/modifikace, pokud nahradíme konvexní množiny nějakými obecnějšími podmnožinami.
Jedna možná modifikace je následující: Pro každé přirozené d existuje f(d) s následující vlastností. Pro libovolný soubor F alespoň f(d) sfér různé dimenze uvnitř R^d takový, že každých f(d) množin z F má neprázdný průnik, platí, že celý soubor F má neprázdný průnik. Tento výsledek plyne z obecného topologického výsledku Goaoca, Patáka, Safernové, Tancera a Wagnera; nicméně obecný topologický postup dává velmi špatný odhad na optimální f(d). Cílem práce by bylo najít dobrý kvantitativní odhad na f(d). Popř. identifikovat další situace, kdy topologický přístup dává špatný odhad, který je možné geometrickými úvahami vylepšit. V případě zájmu mne kontaktujte (např. osobně či emailem). Aktuální stav a případně další témata lze nalézt na: http://kam.mff.cuni.cz/~tancer/StudentskePrace/ |