Student(ka) se seznámí se současnými výsledky o spojitosti řešení stochastických diferenciálních rovnic s aditivním šumem v Banachových prostorech a tyto případně rozšíří. Pozornost může být věnována např. případu, kdy integrátorem je obecný frakcionální proces.
References
[1] P. Čoupek, B. Maslowski, M. Ondreját, Stochastic integration with respect to fractional processes in Banach spaces, Journal of Functional Analysis 282(8) (2022), art. no. 109393.
[2] G. Da Prato, J. Zabczyk, Stochastic Equations in Infinite Dimensions, 2nd ed., Cambridge University Press, 2014.
Preliminary scope of work
Velkou třídu parciálních diferenciálních rovnic s náhodným vstupem (např. stochastická rovnice vedení tepla) je možné chápat jako diferenciální rovnice v nekonečně rozměrném prostoru [2]. V případě, že je rovnice lineární a aditivní šum frakcionální (jeho autokovarianční funkce je shodná s autokovarianční funkcí frakcionálního Brownova pohybu), je řešením této rovnice stochastický konvoluční integrál (zobecnění klasického případu Ornstein-Uhlenbeckova procesu) a lze najít postačující a nutné podmínky pro existenci a měřitelnost tohoto řešení [1]. Existuje také jednoduché kritérium pro spojitost trajektorií tohoto řešení, které je založené na Kolmogorovově-Čencovově větě a které vyžaduje analyticitu příslušné semigrupy (tj. lze jej použít pro rovnici vedení tepla, ale už ne pro vlnovou rovnici). Nabízí se otázka, jestli by šlo, za pomocí jiných technik např. faktorizace [2], nalézt kritérium pro spojitost trajektorií, které analyticitu navyžaduje.
