α-symetrické míry

• Thesis title in Czech: α-symetrické míry
• Thesis title in English: α-symmetric measures
• Key words: sféricky symetrická míra|vícerozměrná míra|charakteristická funkce|pozitivně definitní funkce
• English key words: spherically symmetric measure|multivariate measure|characteristic function|positive definite function
• Academic year of topic announcement: 2022/2023
• Thesis type: diploma thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Department of Probability and Mathematical Statistics (32-KPMS)
• Supervisor: doc. Mgr. Stanislav Nagy, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 01.11.2022
• Date of assignment: 01.11.2022
• Confirmed by Study dept. on: 23.01.2023
• Date and time of defence: 05.09.2023 08:20
• Date of electronic submission: 20.07.2023
• Date of submission of printed version: 24.07.2023
• Date of proceeded defence: 05.09.2023
• Opponents: doc. RNDr. Daniel Hlubinka, Ph.D.

Guidelines

Riešiteľ/ka predstaví α-symetrické viacrozmerné miery, popíše ich základné vlastnosti, a uvedie príklady takýchto mier a ich využitia.

References

Eaton, M. L. (1981). On the projections of isotropic distributions. The Annals of Statistics 9(2), 391-400.
Fang, K. T., Kotz, S. a Ng, K. W. (1990). Symmetric multivariate and related distributions. Chapman and Hall, Ltd., London.
Koldobsky, A. (2005). Fourier analysis in convex geometry. Mathematical Surveys and Monographs 116. American Mathematical Society, Providence, RI.

Preliminary scope of work

Mieru na d-rozmernom Euklidovskom priestore nazývame sféricky symetrická ak je invariantná vzhľadom k rotáciám okolo počiatku. Príkladom sféricky symetrickej miery je štandardné (viacrozmerné) normálne rozdelenie. Ukazuje sa, že sférická symetria sa dá popísať pomocou charakteristickej funkcie - miera je sféricky symetrická práve vtedy, keď sa jej charakteristická funkcia dá napísať iba ako funkcia euklidovskej normy svojho argumentu. Prirodzeným rozšírením sféricky symetrických mier sú tzv. α-symetrické miery. Pre α>0 povieme, že miera je α-symetrická ak sa jej charakteristická funkcia dá zapísať ako L-α norma svojho argumentu. Pre α=2 získavame práve sféricky symetrické miery.

α-symetrické miery majú radu zaujímavých vlastností. Napríklad, každá projekcia takejto miery do priamky má rozdelenie rovnakého typu. Na druhú stranu, na rozdiel od sféricky symetrických mier, toho o α-symetrických mierach príliš veľa nevieme. Už napríklad to, či pre dané α a dimenziu priestoru d existuje (netriviálna) α-symetrická miera je zaujímavý problém, ktorý prepája pravdepodobnosť, funkcionálnu analýzu a geometriu.

Cieľom práce je prehľadný popis α-symetrických mier a ich základných vlastností.

Preliminary scope of work in English

A measure on a d-dimensional Euclidean space is called spherically symmetric if it is invariant with respect to rotations around the origin. An example of a spherically symmetric measure is the standard (multivariate) normal distribution. It turns out that spherical symmetry can be described in terms of characteristic functions - a measure is spherically symmetric if and only if its characteristic function can be written only as a function of the Euclidean norm of its argument. A natural generalization of spherically symmetric measures is the so-called α-symmetric measures. For α>0 is a measure α-symmetric if its characteristic function can be written as the L-α norm of its argument. For α=2, we obtain exactly spherically symmetric measures.

α-symmetric measures have several interesting properties. For example, every projection of such a measure into a line has a distribution of the same type. On the other hand, unlike for spherically symmetric measures, little is known about α-symmetric measures. Already the problem of whether, for given α and dimension d, there exists a (nontrivial) α-symmetric measure is interesting. It connects probability, functional analysis, and geometry.

The goal of the thesis is a description of α-symmetric measures and their elementary properties.