Průniky grafu s přímkami a konvexita
| Thesis title in Czech: | Průniky grafu s přímkami a konvexita |
|---|---|
| Thesis title in English: | Intersecstions of the graph with lines and convexity |
| Academic year of topic announcement: | 2022/2023 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Mathematical Analysis (32-KMA) |
| Supervisor: | prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc. |
| Author: |
| Guidelines |
| Nechť $f$ je spojitá funkce na $[a,b]$. Dobře známé a snadné tvrzení říká, že průnik grafu funkce $f$ s každou přímkou je nejvýše dvoubodový, právě když $f$ je ryze konvexní nebo ryze konkávní. Prvním cílem práce by bylo sepsat důkaz tohoto tvrení.
Pokud po průnicích požadujeme jen konečnost, existuje nutně interval, na kterém $f$ je ryze konvexní nebo ryze konkávní. Hlavním cílem práce by byl důkaz toho, že pokud požadujeme jen spočetnost, takový interval existovat nemusí. To je výsledek Agronského, Brucknera, Laczkoviche a Preisse z r. 1985 (Theorem 6), kde je použita Baireova metoda kategorií v prostoru všech regulovaných funkcí (tj. funkcí, které mají konečné všechny jednostranné limity) na $[a,b]$. Dúkaz v článku je jen na jednu stránku, ale je psán hodně zhuštěně a v práci by bylo nutné jej velmi podstatně rozvést. |
| References |
| Agronsky, S.; Bruckner, A. M.; Laczkovich, M.; Preiss, D. Convexity conditions and intersections with smooth functions. Trans. Amer. Math. Soc. 289 (1985), no. 2, 659–677.
Případně další literatura podle doporučení školitele. |