Cílem práce je zobecnit vlastnosti Moebiových transformací komplexní roviny do vyšší dimenze a studovat vlastnosti vhodných diskrétních podgrup Moebiovy grupy. Ve dvou dimenzích mají tyto tzv. Kleinovské grupy limitní množiny s fraktální strukturou, součástí práce by mělo být nalezení obdobných příkladů v trojrozměrném prostoru.
References
Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David: Indra's Pearls, The Vision of Felix Klein, Cambridge University Press 2006
Kratochvíl, Petr: Moebiovy transformace ve více dimenzích, bakalářská práce, MFF 2010
Preliminary scope of work
Kniha Indra's Pearls je na matematické poměry dost neobvyklá. Už při prvním otevření čtenáře zaujmou nádherná barevná vyobrazení fraktálních množin a dokonce krátké komiksy, na nichž "doktor Stickler" lepí plochy s různou zajímavou topologií. Obojí souvisí s takzvanými Kleinovskými grupami, což jsou podgrupy grupy Moebiových transformací roviny (translace, rotace, kruhová inverze) generované dvěma elementy. Tyto grupy transformují body roviny tak, že limitní body této transformace vytvářejí krásné fraktální struktury. V knížce je podán nejen teoretický základ a obrázky výsledků, ale také návod, jak tyto fraktály pomocí celkem libovolného softwaru sám vykreslit. Moebiova grupa se dá zobecnit do vyšších dimenzí, cílem práce by tedy bylo zkusit zobecnit i vlastnosti Kleinovských grup a zkusit vykreslit nějaké jejich limitní množiny ve 3D, tedy vlastně třírozměrné fraktály.
Preliminary scope of work in English
The book Indra's Pearls is an unusual one. When opening it first, the reader notices beautiful color images of fractal sets and even short comics where 'Dr. Stickler' glues surfaces with various interesting topology. Both are linked to the so called Kleinian groups, which are subgroups of the group of Moebius transformations (translations, rotations, circular inverse) generated by 2 elements. These groups transforms points of the plane in such a way that limit points of a transform create beautiful fractal structures. The book provides not just a mathematical background and pictures of results, but also a guide how to draw these fractals on your own with the help of a suitable software. The Moebius group can be generalized to higher dimension, the goal of the thesis would therefore be to generalize properties of the Kleinian groups as well and try to draw some limit sets in 3D, i.e. some 3-dimensional fractals.
