Složitost klasifikace metrických prostorů
| Název práce v češtině: | Složitost klasifikace metrických prostorů |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Complexity of classification of metric spaces |
| Klíčová slova: | metrický prostor|borelovská redukce|úplný|kompaktní |
| Klíčová slova anglicky: | metric space|borel reduction|complete|compact |
| Akademický rok vypsání: | 2025/2026 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Zkoumat složitost různých tříd metrických prostorů pomocí metod invariantní deskriptivní teorie množin.
|
| Seznam odborné literatury |
| Clemens, Gao, Kechris: Polish metric spaces: Their classification and isometry groups
Gao: Invariant Descriptive Set Theory Hjorth: Classification and orbit equivalence relations Kechris: Classical descriptive set theory |
| Předběžná náplň práce |
| Je známo, že kompaktní metrické prostory lze klasifikovat (vzhledem k izometrii) pomocí rovnosti reálných čísel, tj. existuje borelovský způsob, který kompaktnímu metrickému prostoru přiřadí reálné číslo tak, že dva metrické prostory jsou izometrické, právě když jim přiřazená reálná čísla jsou totožná.
Na druhou stranu složitost klasifikace všech úplných separabilních metrických prostorů je velice složitá – stejně složitá jako tzv. úplná orbitální ekvivalenční relace, tj. nejobecnější ekvivalenční relace vzniklá spojitou akcí separabilní úplné topologické grupy. V případě tzv. ultrametrických prostorů (tj. metrických prostorů, kde v trojúhelníkové nerovnosti je součet nahrazen maximem) je známo, že složitost klasifikace je stejná jako složitost klasifikace spočetných grafů až na izomorfismus. Cílem práce je nastudování, pochopení a shrnutí známých výsledků v této oblasti a zkoumání složitosti dalších tříd metrických prostorů. |