Rovnice konvekce-difúze se vyskytují v řadě modelů různých fyzikálních jevů. Koeficient difúze je často velmi malý ve srovnání s konvekcí, což v mnoha případech vede ke vzniku nefyzikálních oscilací v jejich numerických řešeních. Dochází pak k tomu, že numerická řešení nabývají hodnot, které nejsou pro řešení aproximovaného spojitého problému přípustné. Pokud chceme takovéto situace vyloučit, je nutné používat metody splňující diskrétní princip maxima, viz např. [1]. Zajímavou třídou metod majících tuto vlastnost jsou algebraické stabilizace (zejména typu AFC - algebraic flux correction), které jsou založeny na modifikacích soustavy lineárních rovnic odpovídající Galerkinově diskretizaci uvažované konvektivně-difúzní úlohy. Tyto metody byly v uplynulých letech intenzivně studovány, přičemž byly získány výsledky o řešitelnosti příslušných nelineárních diskrétních problémů, o platnosti různých verzí diskrétního principu maxima i o konvergenci přibližných řešení. Jejich vlastnosti byly však numericky zkoumány takřka výlučně pro diskretizace získané pomocí konečných prvků prvního řádu. Cílem práce je aplikovat metody AFC na diskretizace získané pomocí konečných prvků vyššího řádu a získat informace o experimentálním řádu konvergence a kvalitě přibližných řešení. Zatímco některé metody AFC jsou formulovány pro diskretizace získané pomocí libovolných konečných prvků, jiné byly zavedeny pouze pro (multi)lineární konečné prvky a diplomová práce se může věnovat též rozšíření takovýchto metod na případy konečných prvků vyššího řádu. Všechny informace potřebné ke zpracovnání práce lze nalézt ve zmíněné knize [1]. Kromě klasických konečných prvků vyššího řádu lze uvažovat i např. Bernsteinovy polynomy [2], které vedou k nezáporným bázovým funkcím. Ke zpracování práce bude možno využít software využívaný vedoucím diplomové práce.
Seznam odborné literatury
[1] G.R. Barrenechea, V. John, P. Knobloch: Monotone Discretizations for Elliptic Second Order Partial Differential Equations, Springer, Cham, 2025
[2] C. Lohmann, D. Kuzmin, J.N. Shadid, S. Mabuza: Flux-corrected transport algorithms for continuous Galerkin methods based on high order Bernstein finite elements, J. Comput. Phys. 344 (2017), 151-186
