Cílem práce je získat nové vědecké výsledky v oblasti zkoumání průnikových tříd grafů. Pozornost bude věnována zejména tzv. Outer-String grafům a jejich podtřídám, například grafům definovaným pomocí průniků lomených čar s malým počtem zlomů. Budou zkoumány jednak kombinatorické vlastnosti těchto grafů, například možnost jejich charakterizace pomocí uspořádání vrcholů bez zakázaných podstruktur, a jednak algoritmické a složitostní problémy související s rozpoznáváním těchto grafů.
Seznam odborné literatury
A. Brandstädt, V. B. Le, J. P. Spinrad: Graph Classes: A Survey, SIAM, 1999 (DOI: 10.1137/1.9780898719796).
Aktuální odborné časopisecké články dle konzultace s vedoucím práce.
Předběžná náplň práce
V této diplomové práci zkoumáme podtřídy vnějškových (outer) a uzemněných (grounded) string grafů. Stringem rozumíme omezenou spojitou křivku v rovině. Průniková reprezentace grafu pomocí stringů je množina stringů, kde každý string odpovídá jednomu vrcholu z původního grafu. Dva stringy se protínají právě tehdy, když mezi jejich odpovídajícími vrcholy vedla v původním grafu hrana. Graf je vnějškový string graf, pokud existuje jeho reprezentace, kde jsou všechny stringy uvnitř disku a každý string má jeden ze svých konců na hranici disku. Obdobně je graf uzemněný string graf, pokud existuje jeho reprezentace, ve které má každý string jeden svůj konec na společné přímce a zbytky všech stringů jsou na stejné straně od hraniční přímky. V diplomové práci uvádíme přehled tříd string grafů a dokazujeme několik tvrzení ohledně vzájemné inkluze těchto tříd. K tomu nám slouží lemma, díky kterému umíme předepisovat u vnějškových a uzemněných grafů pořadí, v jakém se vyskytují na hraniční přímce (resp. hraniční kružnici) konce jednotlivých stringů. V druhé části práce dokazujeme, že rozpoznávání vnějškových string grafů je NP-těžké.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
This thesis is devoted to the outer and grounded string representations of graphs and their subclasses. A string representation of a graph is a set of strings (bounded continuous curves in a plane), where each string corresponds to one vertex of the graph. Two strings intersect each other if and only if the two corresponding vertices are adjacent in the original graph. An \emph{outer string graph} is a graph with a string representation where strings are realized inside a disk and one endpoint of each string lies on the boundary of the disk. Similarly, in case of \emph{grounded string graphs} the strings lie in a common half-plane with one endpoint of each string on the boundary of the half-plane. We give a summary of subclasses of grounded string graphs and proves several results about their mutual inclusions and separations. To prove those, we use an order-forcing lemma which can be used to force a particular order of the endpoints of the string on the boundary circle or boundary line. The second part of the thesis contains proof that recognition of outer string graphs is NP-hard.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.