Student se seznámí s po částech exponenciálním rozdělením, které je definováno po částech konstantní rizikovou funkcí, a zaměří se na případ s jediným bodem zlomu. Za předpokladu známého bodu zlomu nalezne vhodné odhady neznámých parametrů a včetně jejich asymptotických vlastností. Dále navrhne vhodný statistický test o shodě rizik. Práce může být dále obohacena o postup při neznámém bodu zlomu, zobecnění na více bodů zlomu či simulační studii.
Seznam odborné literatury
Anděl, J. (2007). Základy matematické statistiky. Praha: Matfyzpress.
Friedman, M. (1982). Piecewise Exponential Models for Survival Data with Covariates. The Annals of Statistics, 10(1), 101–113. http://www.jstor.org/stable/2240502
Xu T., Wen R. (2024). PWEXP: An R Package Using Piecewise Exponential Model for Study Design and Event/Timeline Prediction. https://arxiv.org/abs/2404.17772
Předběžná náplň práce
Po částech exponenciální rozdělení se používá například v modelech přežití, kde může sloužit jako hrubá aproximace v čase se měnící rizikové funkce. Neznámými parametry tohoto rozdělení jsou rizika na jednotlivých intervalech, v reálných situacích však často nejsou dopředu známy ani časy zlomu definující intervaly. Pro odhad parametrů lze postupovat metodou maximální věrohodnosti a posléze odvodit například test poměrem věrohodností pro rovnost rizik na dvou různých intervalech, tedy spojení dvou intervalů v jeden se stejnou intenzitou.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
For example, the piecewise exponential distribution is used in survival models, where it can serve as a rough approximation of a time-varying hazard function. The unknown parameters of this distribution are the hazards on the individual intervals, but in real-life situations the break points defining the intervals are often not known in advance. To estimate the parameters, one can follow the maximum likelihood method and subsequently derive, for example, a likelihood ratio test for equality of hazards on two different intervals, i.e. the union of two intervals into one with the same intensity.
