Fine properties of functions and operators

• Název práce v češtině: Jemné vlastnosti funkcí a oprátorů
• Název v anglickém jazyce: Fine properties of functions and operators
• Klíčová slova: prostory funkcí|integrální operátory|optimalita|Sobolevovo vnoření
• Klíčová slova anglicky: function spaces|integral operators|optimality|Sobolev embeddings
• Akademický rok vypsání: 2024/2025
• Typ práce: rigorózní práce
• Jazyk práce: angličtina
• Ústav: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Vedoucí / školitel: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 18.05.2023
• Datum zadání: 18.05.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 20.12.2024
• Datum a čas obhajoby: 23.01.2025 00:00
• Datum odevzdání elektronické podoby: 20.12.2024
• Datum odevzdání tištěné podoby: 02.05.2024
• Datum proběhlé obhajoby: 23.01.2025

Zásady pro vypracování

Student se seznámí s rozsáhlými partiemi dostupné literatury o vlastnostech operátorů (zejména intgerálních) a vnoření na specifických prostorech funkcí a pokusí se vyřešeit některé zajímavé otevřené problémy v této oblasti. Důraz bude kladen na optimalitu prostorů funkcí. Budou studovány specifické škály prostorů funkcí, konkrétně například Lorentzovy, Orliczovy, případně složitější prostory s normou invariantní vůči přerovnání (interpolační prostory, koncové prostory a další). Budou studovány rozličné vlastnosti operátorů a vnoření, zejméne například omezenost, spojitost, kompaktnost a další.

Seznam odborné literatury

R.A. Adams: Function Spaces, Princeton, 1975,

C. Bennett and R. Sharpley, Interpolation of Operators, Princeton University Press, 1988,

R. Kerman and L. Pick, Optimal Sobolev imbeddings, Forum Math 18, 4 (2006), 535-570,

R. Kerman and L. Pick, Compactness of Sobolev imbeddings involving rearrangement-invariant norms, Studia Math 186, 2 (2008), 127-160,

A. Cianchi and L. Pick, Optimal Gaussian Sobolev embeddings, J. Funct. Anal 256, 11 (2009), 3588-3642.

Předběžná náplň práce

Oblast prostorů funkcí a jejich aplikací tvoří důležitou součást funkcionální analýzy. V posledních letech se objevují nové soubory otevřených problémů, které mají aplikace například v teorii aproximací nebo v teorii regularity řešení parciálních diferenciálních rovnic. Můžeme uvést několik příkladů: výzkum jemného chování funkcí ze Sobolevových prostorů necelého řádu, vyšetřování jemných vlastností funkcí definovaných na vícerozměrném eukleidovském prostoru opatřeném gaussovskou mírou na základě vlastností jejich derivací, optimální přenos regularity z dat na řešení pro Ornsteinův-Uhlenbeckův diferenciální operátor, diskretizace a antidiskretizace váhových nerovností pro iterované integrální a supremální operátory, pozice Orliczova prostoru na fundamentální škále a s ní související existence a charakterizace optimálního prostoru pro omezenost daného operátoru (optimalitou rozumíme situaci, kdy uvedený prostor již nelze zvětšit či zmenšit bez ztráty omezenosti operátoru), a mnoho dalších. Student se pokusí vyřešit některé z uvedených otázek, přičemž není vyloučeno, že k tomu bude muset vybudovat nové techniky.

Předběžná náplň práce v anglickém jazyce

The field of function spaces and their applications constitutes an important subdiscipline of contemporary functional analysis. Recently, new important sets of open problems have been appearing, having applications for instance in approximation theory or in the theory of regularity of solutions of partial differential equations. We can name several examples: investigation of fine properties of functions from Sobolev spaces of fractional order, the study of fine properties of functions defined on multidimensional Euclidean space endowed with Gaussian measure based on the properties of their derivatives, sharp transfer of regularity from data to solutions for the Ornstein-Uhlenbeck operator, discretization and antidiscretization of weighted inequalities for iterated integral operators, positioning of Orlicz space on its fundamental scale, and its relation to its optimality in boundedness of a given operator (optimality being considered within a given pool of structures), and many more. The student will try to solve some of the mentioned questions as well as those that will appear in the course of the work.