Vnoření metrických prostorů do vybraných Banachových prostorů
| Název práce v češtině: | Vnoření metrických prostorů do vybraných Banachových prostorů |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Embedding of metric spaces into distinguished Banach spaces |
| Akademický rok vypsání: | 2025/2026 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Student nastuduje známé výsledky týkající se vnořování metrických prostorů do vybraných Banachových prostorů a přehledně tyto výsledky zpracuje. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] N. J. Kalton: Lipschitz and uniform embeddings into ℓ∞, Fund. Math. 212 (2011), no. 1, 53–69.
[2] J. Pelant: Embeddings into c0, Topology Appl.57 (1994), no.2-3, 259–269. [3] A. Swift: On coarse Lipschitz embeddability into c0(κ), Fund. Math. 241 (2018), no. 1, 67–81. |
| Předběžná náplň práce |
| Plánem je věnovat se především vnořením do Banachových prostorů c0(I) a ℓ∞(I).
Je známo, že každý separabilní metrický prostor se Lipschitzovsky vnoří do Banachova prostoru c0. Analogická věta pro neseparabilní prostory již neplatí, v článku [2] český matematik Pelant podal topologickou charakterizaci těch metrických prostorů, které se vnoří do c0(I) pro nějakou množinu I. Tento výsledek odstartoval několik prací, které se věnují různým variantám této charakterizace, z nedávnějších například článek [3]. Kromě prostoru c0(I) je možné studovat také podobné otázky pro prostor ℓ∞, tomu se věnoval například N. J. Kalton v článku [1]. Souvislost s předchozím problémem spočívá v tom, že c0(R) se Lipschitzovsky vnoří do ℓ∞. Hlavní motivací pro tuto práci je otevřený problém, zda se ℓ∞ vnoří Lipschitzovsky do c0(I) pro nějakou množinu I. Je publikován výsledek, že odpověď je záporná, nicméně v důkazu je chyba a problém tak zůstává otevřený. Student by měl za úkol nastudovat příbuzné výsledky a v optimistickém případě, po nastudování příslušných publikovaných výsledků, se nad otevřeným problémem zamyslet. Student od práce může očekávat to, že se detailně seznámí s otevřeným problémem a jeho pozadím. Použité metody využívají znalosti funkcionální analýzy, topologie a někdy částečně i teorie množin. |