Studentka se nejprve seznámí s rozsáhlou literaturou týkající se Hardyova-Littlewoodova maximálního operátoru a silného maximálního operátoru. Poté se zaměří na studium jistých nestandardních tříd maximálních operátorů, které zobecňují oba výše zmíněné operátory. Důraz bude kladen zejména na omezenost těchto operátorů v limitních případech.
Seznam odborné literatury
J. Duoandikoetxea: "Fourier analysis", Grad. Stud. Math., 29, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
L. Grafakos: "Classical Fourier analysis", third edition. Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, 2014.
P. Durcik, L. Slavíková and C. Thiele: "Local bounds for singular Brascamp-Lieb forms with cubical structure", Math. Z. 302 (2022), no.4, 2375--2405.
a další časopisecká literatura
Předběžná náplň práce
Klasický Hardyův-Littlewoodův maximální operátor je definován pomocí suprema přes všechny krychle či koule obsahující daný bod. Silný maximální operátor toto supremum rozšiřuje na všechny obdélníky, které obsahují daný bod a jejichž strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami. Chování těchto operátorů se liší v limitních případech. Konkrétně standardní odhad slabého typu, který platí pro Hardyův-Littlewoodův maximální operátor, není splněn pro silný maximální operátor. Práce se zaměří na třídu maximálních operátorů, které jsou podobně jako silný maximální operátor definovány pomocí suprema přes obdélníky, ovšem s tím rozdílem, že obdélníky s vyšší excentricitou mají nižší váhu.
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce
The definition of the classical Hardy-Littlewood maximal operator involves a supremum over all cubes or balls containing a given point. The strong maximal operator is defined via a supremum with respect to all rectangles that contain a given point and whose sides are parallel with coordinate axes. These two operators admit a different behavior in limiting cases. More precisely, the standard weak type estimate, which holds for the Hardy-Littlewood maximal operator, fails for the strong maximal operator. The thesis will focus on a class of maximal operators defined via a supremum over rectangles, in which however the more eccentric rectangles are given a smaller weight.
- zadáno a potvrzeno stud. odd.