Metrika v projektivní geometrii

• Název práce v češtině: Metrika v projektivní geometrii
• Název v anglickém jazyce: Metric in Projective Geometry
• Klíčová slova: kuželosečky|Cayley-Kleinova metrika|projektivní prostor
• Klíčová slova anglicky: conic sections|Cayley-Klein metrics|projective space
• Akademický rok vypsání: 2023/2024
• Typ práce: diplomová práce
• Ústav: Katedra didaktiky matematiky (32-KDM)
• Vedoucí / školitel: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D.
• Řešitel: skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd.
• Datum přihlášení: 27.11.2023
• Datum zadání: 27.11.2023
• Datum potvrzení stud. oddělením: 06.02.2024

Zásady pro vypracování

Cílem práce bude srozumitelně zavést vzdálenost dvou bodů a velikost úhlu v projektivní rovině a upozornit na některé zajímavé souvislosti, které se k tomu váží, zejména srozumitelně vysvětlit myšlenku Felixe Kleina: „To look upon affine geometry as well as metric geometry as special cases of projective geometry.“

Nejprve bude stručně na několika příkladech zasahujících do SŠ matematiky naznačeno, proč je výhodné v mnoha situacích zkoumat geometrické vlastnosti právě v projektivní rovině (přímky, kuželosečky). Tyto motivační úvahy povedou k názornému zavedení homogenních souřadnic. Stručně budou zmíněny afinní a projektivní transformace, dělicí poměr a dvojpoměr, Kleinův Erlangenský program. Následovat budou odvození vztahu pro vzdálenost dvou bodů a pro odchylku dvou přímek (Laguerrova formule) v projektivní rovině. Závěr bude věnován vybraným důsledkům zavedení metriky v projektivní rovině pro interpretaci vztahů mezi různými typy geometrií (projektivní, afinní, eukleidovská, případně mohou být zahrnuty i neeukleidovské geometrie).

Seznam odborné literatury

Richter-Gerbert, J.: Perspectives on Projective Geometry. A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Springer, 2011.
Cayley, A.: Sixth Memoire upon Quantics. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 159(1859), 61-91.
Klein, F.: Elementary Mathematics from a Higher Standpoint. Volume II: Geometry. Translated by Gert Schubring. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2016.

Předběžná náplň práce

V Kleinově klasifikaci geometrií stojí nejníže projektivní geometrie, následují geometrie afinní, podobnostní a eukleidovská.
Tímto způsobem také bývají uspořádány přednášky z geometrie v bakalářském studiu.
V tomto světle působí velmi překvapivě výrok Arthura Cayleyho: "Projective geometry is all geometry." i program samotného Felixe Kleina uvedený níže.

Cílem práce bude srozumitelně provést program Felixe Kleina: "To look upon affine geometry as well as metric geometry as special cases of projective geometry.", který mimo jiné stručně shrnul ve svém klasickém díle věnovaném elementární matematice.


V projektivním prostoru jsou zahrnuty nevlastní body ("body v nekonečnu"). Zpočátku může být překvapivé, že jim lze rozumným způsobem přiřadit souřadnice, které jsou reálnými čísly. Vzniká tak otázka, zda je možno jít ještě dále a zavést v projektivním prostoru rozumným způsobem metriku.

1. Na začátku tedy bude stručně na několika příkladech zasahujících do SŠ matematiky naznačeno,
proč je výhodné v mnoha situacích zkoumat geometrické vlastnosti právě v projektivní rovině (přímky, kuželosečky).
2. Popis bodů v nekonečnu, projektivní rovina.
Afinní a projektivní transformace. Dělicí poměr a dvojpoměr.
3. Vzdálenost dvou bodů a odchylka dvou přímek v projektivní rovině.
4. Důsledky pro interpretaci vztahů mezi různými typy geometrií (projektivní, afinní, eukleidovská, případně mohou být zahrnuty i neeukleidovské geometrie).