α-symetrické míry
Název práce v češtině: | α-symetrické míry |
---|---|
Název v anglickém jazyce: | α-symmetric measures |
Klíčová slova: | sféricky symetrická míra|vícerozměrná míra|charakteristická funkce|pozitivně definitní funkce |
Klíčová slova anglicky: | spherically symmetric measure|multivariate measure|characteristic function|positive definite function |
Akademický rok vypsání: | 2022/2023 |
Typ práce: | diplomová práce |
Jazyk práce: | čeština |
Ústav: | Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky (32-KPMS) |
Vedoucí / školitel: | doc. Mgr. Stanislav Nagy, Ph.D. |
Řešitel: | skrytý![]() |
Datum přihlášení: | 01.11.2022 |
Datum zadání: | 01.11.2022 |
Datum potvrzení stud. oddělením: | 23.01.2023 |
Datum a čas obhajoby: | 05.09.2023 08:20 |
Datum odevzdání elektronické podoby: | 20.07.2023 |
Datum odevzdání tištěné podoby: | 24.07.2023 |
Datum proběhlé obhajoby: | 05.09.2023 |
Oponenti: | doc. RNDr. Daniel Hlubinka, Ph.D. |
Zásady pro vypracování |
Riešiteľ/ka predstaví α-symetrické viacrozmerné miery, popíše ich základné vlastnosti, a uvedie príklady takýchto mier a ich využitia. |
Seznam odborné literatury |
Eaton, M. L. (1981). On the projections of isotropic distributions. The Annals of Statistics 9(2), 391-400.
Fang, K. T., Kotz, S. a Ng, K. W. (1990). Symmetric multivariate and related distributions. Chapman and Hall, Ltd., London. Koldobsky, A. (2005). Fourier analysis in convex geometry. Mathematical Surveys and Monographs 116. American Mathematical Society, Providence, RI. |
Předběžná náplň práce |
Mieru na d-rozmernom Euklidovskom priestore nazývame sféricky symetrická ak je invariantná vzhľadom k rotáciám okolo počiatku. Príkladom sféricky symetrickej miery je štandardné (viacrozmerné) normálne rozdelenie. Ukazuje sa, že sférická symetria sa dá popísať pomocou charakteristickej funkcie - miera je sféricky symetrická práve vtedy, keď sa jej charakteristická funkcia dá napísať iba ako funkcia euklidovskej normy svojho argumentu. Prirodzeným rozšírením sféricky symetrických mier sú tzv. α-symetrické miery. Pre α>0 povieme, že miera je α-symetrická ak sa jej charakteristická funkcia dá zapísať ako L-α norma svojho argumentu. Pre α=2 získavame práve sféricky symetrické miery.
α-symetrické miery majú radu zaujímavých vlastností. Napríklad, každá projekcia takejto miery do priamky má rozdelenie rovnakého typu. Na druhú stranu, na rozdiel od sféricky symetrických mier, toho o α-symetrických mierach príliš veľa nevieme. Už napríklad to, či pre dané α a dimenziu priestoru d existuje (netriviálna) α-symetrická miera je zaujímavý problém, ktorý prepája pravdepodobnosť, funkcionálnu analýzu a geometriu. Cieľom práce je prehľadný popis α-symetrických mier a ich základných vlastností. |
Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
A measure on a d-dimensional Euclidean space is called spherically symmetric if it is invariant with respect to rotations around the origin. An example of a spherically symmetric measure is the standard (multivariate) normal distribution. It turns out that spherical symmetry can be described in terms of characteristic functions - a measure is spherically symmetric if and only if its characteristic function can be written only as a function of the Euclidean norm of its argument. A natural generalization of spherically symmetric measures is the so-called α-symmetric measures. For α>0 is a measure α-symmetric if its characteristic function can be written as the L-α norm of its argument. For α=2, we obtain exactly spherically symmetric measures.
α-symmetric measures have several interesting properties. For example, every projection of such a measure into a line has a distribution of the same type. On the other hand, unlike for spherically symmetric measures, little is known about α-symmetric measures. Already the problem of whether, for given α and dimension d, there exists a (nontrivial) α-symmetric measure is interesting. It connects probability, functional analysis, and geometry. The goal of the thesis is a description of α-symmetric measures and their elementary properties. |