Analysis of evolutionary problems with bounded gradients
| Název práce v češtině: | Analýza evolučních úloh s omezeným gradientem |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Analysis of evolutionary problems with bounded gradients |
| Klíčová slova: | nelineární parabolická rovnice, slabé řešení, renormalizované řešení, apriori omezený gradient řešení, existence slabého řešení, kvalitativní vlastnosti |
| Klíčová slova anglicky: | nonlinear parabolic equation, weak solution, renormalized solution, apriori bounded gradient of the solution, existence, qualitative behavior |
| Akademický rok vypsání: | 2018/2019 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | angličtina |
| Ústav: | Matematický ústav UK (32-MUUK) |
| Vedoucí / školitel: | prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. |
| Řešitel: | skrytý - zadáno a potvrzeno stud. odd. |
| Datum přihlášení: | 12.11.2018 |
| Datum zadání: | 13.11.2018 |
| Datum potvrzení stud. oddělením: | 19.11.2018 |
| Datum a čas obhajoby: | 12.09.2019 08:00 |
| Datum odevzdání elektronické podoby: | 12.07.2019 |
| Datum odevzdání tištěné podoby: | 19.07.2019 |
| Datum proběhlé obhajoby: | 12.09.2019 |
| Oponenti: | doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. |
| Zásady pro vypracování |
| 1) Uvažme zobecněnou Navier-Stokesovu tekutinu, kde symetrická část gradientu rychlosti závisí nelineárně na tensoru napětí takovým způsobem, že symetrická část gradientu zůstává omezená. Z tohoto modelu odvodit redukovaný model platný pro jednoduchá smyková proudění. Tuto redukovanou úlohu rošířit do více prostorových proměnných. Navrhnout další motivace pro studium takové úlohy, viz např. [5].
2) Pokusit se provést analýzu těchto evolučních parabolických rovnic doplněných o prostorově periodické okrajové podmínky dle následujících kroků: (i) vyšší diferencovatelností získat váhový odhad na derivace toků, (ii) tento odhad využít k lepší integrovatelnosti toků (alespoň pro jisté parametry modelu) a k důkazu existence renormalizovaného řešení (pro libovolné parametry modelu), (iii) pomocí získaného odhadu na integrovatelnost toků ukázat, že renormalizovaná řešení jsou řešení slabá. Tento postup sleduje přístup úspěšně vyvinutý při studiu eliptických úloh, viz [1]-[3]. 3) Porovnat uvažované koncepty řešení s řešením ve smyslu variačních nerovnice. 4) Vyšetřovat otázky jednoznačnosti řešení. |
| Seznam odborné literatury |
| [1] Beck,L., Bulíček, M., Málek,J., Süli,E.: On the existence of integrable solutions to nonlinear elliptic systems and variational problems with linear growth. Arch. Ration. Mech. Anal. 225 (2017) 717–769.
[2] Bulíček,M., Málek, J., Süli,E.: Analysis and approximation of a strain-limiting nonlinear elastic model. Math. Mech. Solids 20 (2015) 92–118. [3] Bulíček,M., Málek,J., Rajagopal,K., Süli,E.: On elastic solids with limiting small strain: modelling and analysis. EMS Surv. Math. Sci. 1 (2014) 283–332. [4] Miranda,F., Rodrigues,J.-F.: On a variational inequality for incompressible non-Newtonian thick flows. Recent advances in partial differential equations and applications, 305–316, Contemp. Math., 666, AMS Providence, 2016. [5] Rodrigues,J.-F.: On the mathematical analysis of thick fluids. J. Math. Sci. (N.Y.) 210 (2015) 835–848. a další časopisecká literatura z výše uvedených zdrojů, dle vlastní rešerše a dle pokynů vedoucího práce. |