Rozšíření zobrazení z hranice
| Název práce v češtině: | Rozšíření zobrazení z hranice |
|---|---|
| Název v anglickém jazyce: | Extension operator from the boundary |
| Klíčová slova: | Beurling-Ahlfors operátor |
| Klíčová slova anglicky: | Beurling-Ahlfors extension operator |
| Akademický rok vypsání: | 2018/2019 |
| Typ práce: | diplomová práce |
| Jazyk práce: | |
| Ústav: | Katedra matematické analýzy (32-KMA) |
| Vedoucí / školitel: | prof. RNDr. Stanislav Hencl, Ph.D. |
| Řešitel: |
| Zásady pro vypracování |
| Nechť B(0,1) je kruh v rovině a S(0,1) hraniční kružnice. Mějme zadáno zobrazení f:S(0,1)\to S(0,1) a hledejme hezké rozšíření dovnitř na zobrazení f:B(0,1)\to B(0,1).
Je známo, že pokud f je restrikcí kvazikonformního zobrazení, tak Beurling-Ahlfors operátor rozšíření nám dá difeomorfismus kruhu na kruh, který je také kvazikonformní. Cílem práce je shrnout tyto známé výsledky a zkoumat podobné problémy pro Sobolevovská a bi-Sobolevská zobrazení: Nechť f na hranici je dostatečně pěkné a proveďme operátor rozšíření. Může pak toto rozšíření ležet v Sobolevově prostoru W^{1,p}? Může inverzní zobrazení f^{-1} ležet v Sobolevově prostoru? Můžeme obecně něco říci o tvaru obrazu kruhu při bi-Sobolevovském zobrazení? Dá se dokonce říci něco o druhé derivaci rozšíření? |
| Seznam odborné literatury |
| A. Beurling, L. Ahlfors: The boundary correspondence under quasiconformal mappings, Acta Math. 96 (1956), 125-142.
S. Hencl, G. Moscariello, A. Passarelli di Napoli, C. Sbordone: Bi-Sobolev mappings and elliptic equations in the plane, J. Math. Anal. Appl 355 (2009), 22-32. |
| Předběžná náplň práce |
| Nechť B(0,1) je kruh v rovině a S(0,1) hraniční kružnice. Mějme zadáno zobrazení f:S(0,1)\to S(0,1) a hledejme hezké rozšíření dovnitř na zobrazení f:B(0,1)\to B(0,1).
Je známo, že pokud f je restrikcí kvazikonformního zobrazení, tak Beurling-Ahlfors operátor rozšíření nám dá difeomorfismus kruhu na kruh, který je také kvazikonformní. Cílem práce je shrnout tyto známé výsledky a zkoumat podobné problémy pro Sobolevovská a bi-Sobolevská zobrazení: Nechť f na hranici je dostatečně pěkné a proveďme operátor rozšíření. Může pak toto rozšíření ležet v Sobolevově prostoru W^{1,p}? Může inverzní zobrazení f^{-1} ležet v Sobolevově prostoru? Můžeme obecně něco říci o tvaru obrazu kruhu při bi-Sobolevovském zobrazení? |
| Předběžná náplň práce v anglickém jazyce |
| The aim of this thesis is to study Beurling-Ahlfors extension operator. Under which boundary condition can we conclude that the mapping is Sobolev or its inverse is Sobolev? |